Sobre las soluciones formales de las ecuaciones diferenciales

Question

Dejemos que $k$ sea un campo de característica cero. Ponga $K=k[\![ t]\!]$ y $W=k\langle t,\partial\rangle / ([\partial,t]=1)$ . Entonces $W$ opera en $K$ de forma obvia ( $\partial f = \frac{d f}{dt}$ ), y definir $$ K^\text{fin} = \{f\in K:D f=0\text{ for some }D\in W\smallsetminus 0\} . $$ La pregunta es:

Es $K^\text{fin}$ un subring de $K$ ?

Pido disculpas de antemano si esta pregunta es demasiado elemental. Suponiendo que $K^\text{fin}$ es un anillo, me interesaría si alguien sabe de algún lugar en el que surja de forma natural.

Answer 1

Estos se llaman (más o menos) funciones holonómicas . Aparecen en combinatoria como las funciones generadoras de una gran clase de secuencias (las que satisfacen recurrencias lineales con coeficientes polinómicos), y se sabe que son cerradas bajo adición y multiplicación. Aquí hay una prueba que es debido a Stanley aunque el resultado es algunas décadas mayor :

Para $f \in k((t))$ dejar $L_f$ denotan el $k(t)$ -span de $\{ f, f', f'', ..., \}$ en $k((t))$ . Entonces $f$ es holonómico si $L_f$ es de dimensión finita. Como $L_{f+g} \subseteq L_f + L_g$ y $L_{fg} \subseteq L_f L_g$ se deduce que si $L_f$ y $L_g$ son ambos de dimensión finita, entonces también lo son $L_{f+g}$ y $L_{fg}$ . Además $\dim L_{f+g} \le \dim L_f + \dim L_g$ y $\dim L_{fg} \le \dim L_f \dim L_g$ .

Answer 2

Su $K^\mathrm{fin}$ es ciertamente cerrado bajo combinaciones lineales con coeficientes en $k$ . En particular, si $D_1 f_1 = 0$ y $D_2 f_2 = 0$ , entonces el par $(f,f_2) = (f_1+f_2,f_2)$ ( $f$ también podría ser una combinación lineal diferente) satisfará el sistema de ecuaciones $D_1 f = D_1 f_2$ , $D_2 f_2 = 0$ . Ahora, queda diferenciar la primera ecuación tantas veces como sea necesario para eliminar $f_2$ y sus derivadas. Después de la eliminación tendrás una ecuación $Df = 0$ en términos de $f$ y sus derivados. Para asegurarse de que sólo es necesario diferenciar un número finito de veces, cada vez que una derivada de $f_2$ de orden igual o mayor que el orden de $D_2$ se puede eliminar mediante la ecuación $D_2 f_2 = 0$ . Por lo tanto, el número de veces que hay que diferenciar $D_1 f = D_1 f_2$ para eliminar $f_2$ está limitada por el orden de $D_2$ . Este es un truco clásico, aunque no sé si tiene algún nombre o referencia estándar asociada.

Por supuesto, se puede jugar al mismo juego con $(f,f_2) = (f_1 f_2,f_2)$ y el sistema de ecuaciones $D_1(f/f_2) = 0$ , $D_2 f_2 = 0$ . Sin embargo, tras eliminar $f_2$ y sus derivados de manera ingenua, se termina con un no lineal ecuación para $f$ . No me queda claro en este momento si diferenciando un número mayor de veces de lo que ingenuamente se podría esperar se podría obtener una ecuación lineal para $f$ . Así que no sé la respuesta a la pregunta del cierre de $K^\mathrm{fin}$ en la multiplicación. Tampoco he encontrado un ejemplo de contador.

Answer 3

No sé la respuesta en esta generalidad, pero el siguiente documento puede ser relevante:

MR0320402 Frank, Günter; Wittich, Hans Zur Theorie linearer Differentialgleichungen im Komplexen. Math. Z. 130 (1973), 363-370.

En este trabajo se estudia la cuestión cuando $k$ es el campo de los números complejos, y el conjunto de operadores diferenciales es algo restringido.