(Asumo que el campo base es un campo algebraicamente cerrado de característica cero. Habría sido útil especificar qué campo tienes en mente). Tu condición equivale a preguntar si existe una forma cuadrática invariante no degenerada, es decir, un soporte no degenerado $\langle\cdot,\cdot\rangle$ Satisfaciendo a $$\langle x,[y,z]\rangle=\langle [x,y],z\rangle,\quad\forall x,y,z,$$ o, equivalentemente, tal que la forma trilineal $(x,y,z)\mapsto \langle x,[y,z]\rangle $ es alternante. Tales álgebras de Lie tienen varios nombres en la literatura, incluyendo "álgebras de Lie cuadráticas", "álgebras de Lie métricas", "álgebras de Lie autoduales". (Tenga en cuenta que a veces hay cierta ambigüedad sobre si esto denota una álgebra de Lie dotada de dicha forma bilineal, o una álgebra de Lie que admite al menos dicha forma). En cualquier caso, hay mucha información disponible.
A continuación se presentan algunos ejemplos de álgebras de Lie sin dicha estructura: los dos primeros se basan en la observación de que, dada una álgebra de Lie cuadrática, el ortogonal de la subálgebra derivada es necesariamente igual al centro. Así pues, basta con encontrar una álgebra de Lie de dimensión finita tal que la dimensión del centro y la codimensión de la subálgebra derivada no coincidan.
1) Por ejemplo, el álgebra de Lie no abeliana de 2 dimensiones no puede hacerse cuadrática (no degenerada).
2) Un ejemplo nilpotente es el álgebra de Lie de Heisenberg con base $(e_1,e_2,e_3)$ con $[e_1,e_2]=e_3$ y todos los demás corchetes cero: la subálgebra derivada tiene codimensión 2, mientras que el centro tiene dimensión 1. De forma más general, si $d\ge 3$ si consideramos el álgebra de Lie filiforme estándar con base $(e_1,\dots e_d)$ con $[e_1,e_i]=e_{i+1}$ para $i=2\le i<d$ y todos los demás corchetes cero, el centro tiene subálgebra derivada tiene codimensión 2 mientras que el centro tiene dimensión 1. También en el $(2m+1)$ -de Heisenberg ( $2m+1\ge 3$ ), el centro y la subálgebra derivada coinciden y son unidimensionales, por lo que la codimensión es $2m\neq 1$ y de nuevo no hay ninguna forma bilineal invariante no degenerada.
3) Además, he aquí un tercer contraejemplo, en el que el argumento anterior no funciona (el álgebra de Lie es perfecta y el centro es cero): el producto semidirecto $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}_2\ltimes \mathfrak{v}$ , donde $\mathfrak{v}$ es una representación irreducible de dimensión finita $\neq 1,3$ (por ejemplo, la representación estándar de 2 dimensiones). Entonces los únicos ideales de $\mathfrak{g}$ son $\mathfrak{g}$ , $\mathfrak{v}$ y $\{0\}$ . Pero si hubiera una forma cuadrática invariante no degenerada, el ortogonal de $\mathfrak{v}$ sería un ideal de la dimensión complementaria, que no existe ya que $\dim(\mathfrak{v})\neq 3$ .
En caso de que se trabaje sobre un campo arbitrario (por ejemplo, los reales), se pregunta si existe una forma cuadrática no degenerada que sea además equivalente al producto escalar estándar, pero esto es aún más restrictivo.
