¿Aproximación de la serie de Taylor para el polinomio de Taylor de grado k?

Question

Dejemos que $T_k(x)$ sea el grado $k$ Polinomio de Taylor de la función $f(x)=\sin(x)$ en $a=0$ . Supongamos que se aproxima $f(x)$ por $T_k(x)$ . Si $|x|\le 1$ cuántos términos se necesitan (es decir, qué es $k$ ) para obtener un error inferior a $\frac 1 {5040}$ ?

No entiendo muy bien lo que preguntan ni cómo obtener la respuesta. Estaba pensando en utilizar la aproximación de series alternas. Estoy seguro de cómo hacer eso, si es que es cierto.

¿Cómo lo hago?

Gracias.

Answer 1

Cuando $|x|\le 1$ la serie Maclaurin para $\sin x$ es efectivamente una serie alterna. El valor absoluto del error cuando truncamos justo después del término en $x^{2n+1}$ tiene valor absoluto $\le$ el valor absoluto del primer término "descuidado". Y es $\lt$ excepto en el caso $x=0$ .

Tenga en cuenta que $5040=7!$ . Así, la aproximación obtenida al detenerse en el término $\frac{x^5}{5!}$ tiene error con valor absoluto $\lt \frac{1}{5040}$ .

Observación: Para $\sin x$ y $|x|\le 1$ se puede obtener la misma estimación del error utilizando el Lagrange forma del resto. Dado que es probable que te hagan preguntas similares en las que no tengamos una serie alterna, es útil saber utilizar la forma de Lagrange del resto,

Answer 2

Una pista: El error de una serie alterna $\sum_k a_k $ se puede acotar como

$$ |R_n|\leq a_{n+1}. $$