Demostrar que el conjunto de todos los $n × n$ matrices de la forma $AB-BA$ es igual al conjunto de todos los $n × n$ matrices con traza cero

Question

Dejemos que $W$ sea el espacio de $n × n$ matrices sobre el archivo $F$ y que $W_0$ sea el subespacio abarcado por las matrices $C$ de la forma $AB - BA$ . Demostrar que $W_0$ es exactamente el subespacio de las matrices que tienen traza cero. (Pista: ¿Cuál es la dimensión del espacio de matrices de traza cero? Utiliza las "unidades" matriciales, es decir, las matrices con exactamente una entrada distinta de cero, para construir suficientes matrices linealmente independientes de la forma $AB-BA$ . )

Dejemos que $K$ sea el conjunto de todos los $n × n$ matrices de la forma $AB-BA$ y dejar que $U$ sea el subespacio de todos los $n × n$ matrices con traza cero.

En primer lugar, no estoy seguro de cómo $K$ es un subespacio. Ciertamente es cerrado bajo la multiplicación escalar, pero ¿cómo es cerrado bajo la adición?

Sabemos que $K$ es un subconjunto de $U$ Pero no estoy seguro de que sea al revés. Sabemos que el $dim U = n^2-1$ y pude encontrar $n^2-n$ matrices "unitarias" (cada una de las cuales tiene sólo un 1 en una entrada no diagonal) y expresarlas como $AB-BA$ . Pero no estoy seguro de cómo tratar los que tienen al menos una entrada diagonal no nula.

Ni siquiera estoy seguro de lo que significa la pista. ¿Alguna ayuda?

Answer 1

El espacio de las matrices cuya traza es $0$ tiene dimensión $n^2-1$ . Ahora, consideremos las matrices $E_{ij}$ de manera que la entrada en la fila $i$ y la columna $j$ es $1$ y todos los demás son $0$ . Entonces todas las matrices del tipo $E_{ij}$ (con $i\neq j$ ) junto con las matrices del tipo $E_{ii}-E_{jj}$ (de nuevo, con $i\neq j$ ) forman un conjunto de $n^2-1$ matrices linealmente independientes cuya traza es igual a $0$ . No es difícil demostrar que cada una de estas matrices es de la forma $AB-BA$ para dos matrices $A$ y $B$ del tipo $n\times n$ . Por ejemplo, $E_{ii}-E_{jj}=E_{ij}E_{ji}-E_{ji}E_{ij}$ .