¿Es la secuencia $x_n = \frac{\sin 1}{2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \frac{\sin 3}{2^3} +\dots + \frac{\sin n}{2^n}$ ¿Cauchy?

Question

$$x_{n} = \frac{\sin 1}{2} + \frac{\sin 2}{2^2} + \frac{\sin 3}{2^3} + ... + \frac{\sin n}{2^n}$$

Me encontré con esta secuencia mientras estudiaba, y aunque es convergente, tengo curiosidad por saber si es o no una secuencia de Cauchy. Si es así, ¿cuál es la prueba?

Answer 1

Podría interesarle observar que manipulaciones bastante sencillas de los senos de múltiples ángulos conducen a $$x_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin (i)}{2^i}= \frac{2^{-n} \left(\sin (n)-2 \sin (n+1)+2^{n+1} \sin (1)\right)}{5-4 \cos (1)}$$ Asimismo, $$x_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin (i)}{3^i}=\frac{3^{-n} \left(\sin (n)-3 \sin (n+1)+3^{n+1} \sin (1)\right)}{10 - 6 \cos (1)}$$ $$x_n=\sum_{i=1}^n\frac{\sin (i)}{4^i}=\frac{4^{-n} \left(\sin (n)-4 \sin (n+1)+4^{n+1} \sin (1)\right)}{17-8 \cos (1)}$$

De hecho, para cualquier valor de $k$

$$x_n(k)=\sum_{i=1}^n\frac{\sin (i)}{k^i}=\frac{k^{-n} \left(\sin (n)-k \sin (n+1)+k^{n+1} \sin (1)\right)}{1+k^2-2 k \cos (1)}$$

Answer 2

Para $n > m > 0$ tenemos

$\vert x_n - x_m \vert = \vert \sum_{m + 1}^n \dfrac{\sin i}{2^i} \vert \le \sum_{m + 1}^n \dfrac{\vert \sin i \vert}{2^i} \le \sum_{m + 1}^n \dfrac{1}{2^i}, \tag{1}$

desde $\vert \sin i \vert \le 1$ . Pero

$\sum_{m + 1}^n \dfrac{1}{2^i} = \dfrac{1}{2^{m + 1}} \sum_0^{n - m -1}\dfrac{1}{2^i} \le 2\dfrac{1}{2^{m + 1}} = \dfrac{1}{2^m}, \tag{2}$

desde $\sum_0^\infty \dfrac{1}{2^i} = 2$ . Por lo tanto, al tomar $m$ suficientemente grande, podemos hacer $\vert x_n - x_m \vert$ arbitrariamente pequeña; la secuencia es Cauchy.

Espero que esto ayude. Saludos,

y como siempre,

¡¡Fiat Lux!!

Answer 3

Considere $\displaystyle|x_n-x_m|=|\sum^{n}_{k=m+1} \frac{\sin k}{2^k}|\le |\sum^{n}_{k=m} \frac{1}{2^k}|$ pero el último término puede hacerse menor que $\epsilon$ ya que es una secuencia de sumas parciales de series convergentes $\displaystyle\sum^{\infty}_{k=1} \frac{1}{2^k}$