Demostrar que la variación total de una función es igual a alguna integral

Question

Quiero demostrar la misma igualdad cuando g es sólo una función integrable de Lesbegue de valor real. Lo que me frustra aquí es que no puedo usar las sumas superiores o inferiores cuando g es sólo integrable de Lesbegue, no integrable de Riemann.... ¿Podría alguien ayudarme a demostrar la igualdad anterior para los casos de integrales de Lesbegue?

Answer 1

Si $g$ es integrable en Lebesgue, entonces $f$ es absolutamente continua y hay mucho que trabajar. Para cualquier partición $\{t_0,\ldots,t_n\}$ de $[a,b]$ tienes $$ |f(t_k) - f(t_{k-1})| = \left| \int_{t_{k-1}}^{t_k} g(x) \, dx \right| \le \int_{t_{k-1}}^{t_k} |g(x)| \, dx$$ para que $$\sum_{k=1}^n |f(t_k) - f(t_{k-1})| \le \sum_{k=1}^n \int_{t_{k-1}}^{t_k} |g(x)| \, dx = \int_a^b |g(x)| \, dx.$$ Ahora tome el supremum sobre todas las particiones para obtener $\displaystyle Vf \le \int_a^b |g(x)| \, dx.$

La desigualdad opuesta no es demasiado difícil, pero requiere un poco de teoría de las funciones BV. ¿Has visto que si $f$ es AC (por lo tanto BV) entonces $f'$ es integrable y $$\int_a^b |f'(x)| \, dx \le Vf?$$ En su caso $f' = g$ casi en todas partes y eso es lo que había que mostrar.