Sub-factores determinantes de una matriz ortogonal

Question

Deje $A$ ser una matriz en especial ortogonal grupo, $A \in SO_n$. Esto significa que $A$ es real, $n \times n$, $A^t A = I$ y $Det(A)=1$, es decir, los vectores columna de a $A$ hacer un positivamente orientada a ortonormales base para $\mathbb R^n$.

Descomponer $A$ como un bloque de la matriz

$$A = \begin{pmatrix} B & C \\ D & E\end{pmatrix}$$

donde$B$$k \times k$$E$$(n-k)\times (n-k)$.

Estoy buscando un basic linear algebra argumento de que $Det(B) = Det(E)$, idealmente algo que podría ser presentado en un 2do o 3er año de licenciatura. Así que no quiero que la gente a invocar nada como el tensor de productos o formas diferenciales.

Answer 1

Algunas google trajo hasta este, Hudson del libro "Kummer del cuarto grado de la superficie", que contiene el siguiente argumento.

Dado $A = \begin{pmatrix} B & C\\ D & E\end{pmatrix}$, orthgonality nos da ese $A^{-1} = A^t = \begin{pmatrix} B^t & D^t\\C^t & E^t\end{pmatrix}$.

El bloque de la multiplicación de la matriz da $$I = A^t A = \begin{pmatrix} B^tB + D^tD & B^t C + D^tE\\C^tB + E^t D & C^tC + E^tE\end{pmatrix}$$

así $B^tB + D^tD = I$, $B^tC + D^tE = 0$, y $C^tC + E^tE = I$ (pero los dos $I$s probablemente tienen diferente tamaño).

Ahora, el uso de estas relaciones, es fácil ver que $$\begin{pmatrix} B^t & D^t\\0&I\end{pmatrix} A = \begin{pmatrix} B^t & D^t\\0&I\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B&C\\D&E\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I & 0\\D &E\end{pmatrix}$$

(aunque debo confesar a estar en una pérdida de cómo motivar a donde vino esto - está en el libro).

Desde aquí, tomar el determinante de ambos lados, usando el hecho de que $\det(A) = 1$ y $\det$ es un homomorphism, da $$\det\begin{pmatrix} B^t & D^t\\0&I\end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} I&0\\D&E\end{pmatrix}$$

pero el factor determinante de un bloque de matriz con un bloque de $0$ es el producto de los determinantes de la diagonal de bloques, con lo que conseguimos $\det(B^t) = \det(E)$. Por último, tenga en cuenta que $\det(B^t) = \det(B)$, así que hemos terminado.