Divisores de $s(2s+1)$ y los primos $s^2+1$

Question

Necesito ayuda para demostrar que $s^2+1$ es primordial en la siguiente afirmación.

reclamar: Si $s$ es cualquier número entero positivo, escribo $f_s =s(2s+1)$ . Necesitaré la función de conteo de divisores $\tau$ . Supongamos que $3s+1$ es primo y $\tau(f_s)=8$ entonces: $2^{-1}s$ , $2s+1$ y $s^2+1$ son primos.

Dejemos que $q=2^{-1}s$ entonces puedo escribir los ocho divisores como:

\begin{align} 1,2,q,s,2s+1,q^{-1}s(2s+1),2^{-1}s(2s+1),s(2s+1) \end{align}

Puedo escribir $f_s =2q(2s+1)$ . Seguramente $(2,2s+1)=1$ y $(2,q)=1$ entonces $\tau(2q(2s+1))=\tau(2)\tau(q(2s+1))=2\tau(q(2s+1))=8$ . En consecuencia, $\tau(q(2s+1))=4$ . Si $(q,(2s+1))>1$ entonces $f_s>8$ una contradicción. En particular $\tau(q(2s+1))=\tau(q)\tau(2s+1)=4$ . Ambos $q$ y $2s+1$ son mayores que $1$ así que tengo eso $\tau(q)$ y $\tau(2s+1)$ son ambos iguales a $2$ y así $q$ y $2s+1$ son primos. Nótese que $4q+1=2s+1$ y $6q+1=3s+1$ . Actualmente no puedo llegar a la primalidad de $s^2+1$ . Consulta la siguiente tabla: \begin{array}{| l | l | l | l |l|} \hline s & f_{s} & q & 2s+1& 3s+1 & s^2+1\\ \hline 6 & 78 & 3 & 13 & 19 & 37\\ 14 & 406 & 7 & 29 & 43 & 197\\ 26 & 1378 & 13 & 53 & 79 & 677\\ 74 & 11026 & 37 & 149 & 223 & 5477\\ 146 & 42778 & 73 & 293 & 439 & 21317\\ \hline \end{array}

Podemos comparar $q$ a A186721 y $2s+1$ a A090866 .

Actualización : La afirmación anterior es falsa por contra ejemplo computacional ver el comentario de abajo y el programa de Sage. Sin embargo, tenemos el siguiente resultado.

reclamar: Si $s$ es cualquier número entero positivo, escribo $f_s =s(2s+1)$ . Necesitaré la función de conteo de divisores $\tau$ . Supongamos que $3s+1$ es primo y $\tau(f_s)=8$ entonces: $2^{-1}s$ y $2s+1$ son primos.

Answer 1

En su entorno, tenemos

1. $q$ es primo

2. $4q+1$ es primo

3. $6q+1$ es primo

Su pregunta es si $4q^2 +1$ es primo.

Al ejecutar el siguiente programa en SAGE, encontramos que $4q^2+1$ no es primordial para $q=277$ .

for p in primes(100000):
    if is_prime(4*p+1)==1:
        if is_prime(6*p+1)==1:
            if is_prime(4*p^2+1)==0:
                print p;

Esto da el siguiente resultado:

277
373
577
727
853
1033
1423
1453
1777
1987
2293
2677
2767
3037
3163
3457
...

Parece que habría infinitos primos de este tipo, pero esto será de dificultad ya que al menos Sophie Germain Problema de las Primas .