Polinomios que desaparecen en capas prescritas

Question

Dado un primo $p$ y un número entero $n\ge p$ ¿Cuál es el menor grado posible de un polinomio $Q\in\mathbb F_p[x_1,\dotsc, x_n]$ tal que $Q$ desaparece en cada vector $x\in\{0,1\}^n$ de peso $w(x)=p$ pero $Q(0)\ne 0$ ? (Aquí el peso de un vector es el número de sus coordenadas no nulas).

También me interesan las variaciones de esta pregunta: ¿cuál es el menor grado posible si $Q$ desaparece en cada vector cero-uno de peso al menos $p$ ? De peso divisible por $p$ ?

El rango de interés es $n=p^c$ con $c>2$ En particular, los grandes valores de $c$ .

Answer 1

Para ambas preguntas modificadas, la respuesta es $n+1-p$ . Como todo polinomio que desaparece en vectores de peso $\geq p$ desaparece en vectores de peso no nulo divisibles por $p$ que no sea $0$ basta con demostrar el límite superior para los polinomios que desaparecen en los vectores de peso $\geq p$ y el límite inferior para los vectores de peso no nulo divisibles por $p$ .

Para el límite superior, basta con tomar $$Q =\prod_{i=1}^{n+1-p} (1-x_i)$$ ya que cualquier conjunto de al menos $p$ de $x_1,\dots, x_n$ contiene al menos $1$ de la $x_1,\dots, x_{n+1-p}$ .

Para el límite inferior, basta con observar que $Q ( 1- (x_1+ \dots + x_n)^{p-1})$ desaparece en todos los vectores de peso distinto de cero, pero es distinto de cero en $\{0,\dots ,0\}$ . Así, cuando eliminamos todos los cuadrados de las variables, es un múltiplo escalar no nulo de $$\prod_{i=1}^{n} (1-x_i)$$ y por lo tanto tiene grado $n$ (o utilizar el nullstellensatz combinatorio), por lo que tiene grado $\geq n$ Así que $Q$ tiene grado $\geq n +1-p$ .

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Para la pregunta original en la que $Q$ desaparece en los vectores de peso $p$ la respuesta es $p$ si $n \geq 2p-1$ .

Para el límite superior, basta con tomar $$Q =1 - \sum_{ \substack{ S \subseteq \{1,\dots n\}\\ |S| = p }} \prod_{i\in S} x_i = 1- e_p (x_1,\dots, x_n)$$ donde $e_p$ son los polinomios simétricos elementales.

Para el límite inferior, basta con tratar el caso $n=2p-1$ como restringir un polinomio $Q$ a la primera $n$ de las variables, poniendo a cero el resto de las variables, preserva esta posibilidad. Pero para $n=2p-1$ un vector tiene un peso $p$ si y sólo si tiene un peso múltiplo no nulo de $p$ por lo que la cota inferior en este caso se deduce de la cota inferior del problema modificado, ya que $n+1-p=p$ .