Probar las desigualdades.

Question

(Se agradece mucho la ayuda, estoy en un callejón sin salida). Gracias de antemano).

Dado que a,b son números reales positivos: la media aritmética 'A' se define como (a+b)/2, la media geométrica 'G' como raíz cuadrada (ab) y la media armónica 'H' como (2ab)/(a+b). Demuestre que H(a,b) <= G(a,b) <= A(a,b) y que el caso de la igualdad '=' sólo es válido cuando a=b.

Answer 1

Aviso $$(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$$

Por desigualdad trivial $x^2 \geq 0$

$$\therefore a + b \geq 2\sqrt{ab} \implies \frac{a + b }{2} \geq \sqrt{ab}$$

Para ver la otra desigualdad, volvemos a utilizar $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$

$$\therefore a + b \geq 2 \sqrt{ab} = \frac{2ab}{\sqrt{ab}} \implies \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$$

Por lo tanto,

$$\frac{a + b }{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}$$

En general, tenemos si $x_i \in \mathbb{R}^{\geq0}$ para todos $i$

$$\sum^n \frac{x_i}{n} \geq ( \prod^nx_i)^{\frac{1}{n}} \geq \frac{n}{\sum^n \frac{1}{x_i} }$$

(¿prueba?)