Me parece que falta algo referente al por qué de Yang-Mills teorías son invariantes de Lorentz mecánica cuántica.
Comenzar considerando QED. Si nos limitamos a estudiar la física de una masa $U(1)$ medidor de campo, a continuación, por la costumbre Wigner pequeño grupo de clasificación de una partícula estados representaciones de forma de que el pequeño grupo de $k^\mu=(k,0,0,k)$ que es sólo $ISO(2)$. Como es norma, asumimos que nuestros estados sólo transformar no trivialmente en virtud de la $SO(2)$ subgrupo de $ISO(2)$, de modo que los estados están marcadas por su ímpetu y su helicidad, $h$. Esto es, bajo un $SO(2)$ rotación por un ángulo de $\theta$ tenemos $U(\theta)|k,h\rangle=e^{ih\theta}|k,h\rangle$. En consecuencia, la creación de operador $a^\dagger_h(k)$ se transforma a medida $U(\theta)a^\dagger_h(k)U(\theta)^\dagger=e^{ih\theta}a^\dagger_h(k)$. Porque se supone que los estados transformar trivialmente debajo de la otra $ISO(2)$ generadores, las mismas ecuaciones se cumplirá si reemplazamos $U(\theta)$ $U(W)$ donde $W$ es cualquier miembro de la $ISO(2)$ grupo.
Es bien sabido que si tratamos de escribir un operador de campo $A_\mu$ en la forma habitual, vamos a encontrar que las propiedades de transformación de la creación y aniquilación de los operadores de la fuerza de $A_\mu$ a transformar en $U(W)$ $U(W)A_\mu U(W)^\dagger=W_\mu{}^\nu A_\nu+\partial_\nu\Omega$ para la transformación de Lorentz $W$ y algunos irrelevante función de $\Omega$. Este es el argumento por el cual la invariancia de Lorentz se encuentra a la demanda de invarianza de norma para partículas sin masa.
Mi pregunta entonces es ¿qué sucede cuando usted considere en su lugar no Abelian teoría de gauge? Yo supongo que la misma historia se mantiene, y todos los bosones de gauge acaba de adquirir un interno del índice, decir $a$. Es decir, yo pensaba que los estados estarían etiquetados como $|k,h,a\rangle$ y los operadores de campo se vería $A_\mu^a$ y transformar lo $U(W)A_\mu^aU(W)^\dagger=W_\mu{}^\nu A_\nu^a+\partial_\nu\Omega^a$ para algunos la función $\Omega^a$.
Esto parece estar mal, aunque, ya que los varones jóvenes de lagrange no es invariante en virtud de lo anterior y en su lugar sólo invariantes bajo completo no Abelian medidor de transformaciones, $A\to U^{-1}(A+d)U$.
La única salida que veo es que la partícula no Abelian los estados pueden cambiar en $U(W)$ $U(W)|k,h,a\rangle=e^{ih\theta}\sum_b D(W)_{ab}|k,h,b\rangle$ donde $D(W)_{ab}$ es una matriz unitaria, que es la rotación de la interna de los índices en el calibre de los estados. Previamente, había sido suponiendo que $D(W)_{ab}$ es trivial. Si esta es la transformación adecuada, pude ver el $A_\mu^a$ operador de heredar la más conocida de la no-Abelian medidor de transformación de la conducta.
Sin embargo, ingenuamente, me parece mal que una de Lorentz rotación de girar el calibre de los índices de los estados ya que esta parece ser una mezcla de espacio-tiempo y de las transformaciones internas y, por tanto, descartado por Coleman-Mandula. Un interno no Abelian transformación generador de $V(X)$ debe actuar en nuestro estado como $V(X)|k,h,a\rangle=\sum_b D_{ab}|k,h,b\rangle$ para algunos unitario de la matriz $D_{ab}$ y, por tanto,$V(X)U(\theta)|k,h,a\rangle\neq U(\theta)V(X)|k,h,a\rangle$, por lo que no sería de simetría de los generadores que no conmuta con Poincaré.
En resumen, mis preguntas son:
1) ¿Cómo el no-Abelian medidor de cambio de operador de bajo transformaciones de Lorentz?
2) ¿una partícula no Abelian spin-1 estado de $|k,p,a\rangle$ de hecho transformación de la $U(W)$ $U(W)|k,h,a\rangle=e^{ih\theta}\sum_b D(W)_{ab}|k,h,b\rangle$ $D(W)_{ab}$ no trivial elemento de la no-Abelian grupo? Si es así, ¿por qué no esta violar Coleman-Mandula?
