PDF conjunto. ¿Está mi libro equivocado?

Question

Considere que X e Y tienen el pdf conjunto $f(x,y) = (2/3)(x+1)$ para $0 < x < 1$ y $0 < y < 1$ y 0 en caso contrario. Lo que es $P(X < 2Y < 3X)$ ? Mi libro dice que la respuesta es 73/162

Pero sigo haciendo $\int_0^1 \int_{x/2}^{3x/2} f(x,y) \, dy \, dx$ y no estoy recibiendo 73/162

Answer 1

La región que debe integrar es la región azul, como se muestra en la figura siguiente.

Por lo tanto, su integral debe ir como sigue.

$$\begin{align} \int_0^{2/3} \int_{x/2}^{3x/2} f(x,y) \, dy \, dx + \int_{2/3}^1 \int_{x/2}^{1} f(x,y) \, dy \, dx & = \int_0^{2/3} \int_{x/2}^{3x/2} \dfrac23(x+1) \, dy \, dx\\ & + \int_{2/3}^1 \int_{x/2}^{1} \dfrac23 (x+1) \, dy \, dx\\ & = \int_0^{2/3} \dfrac23x(x+1) \, dx\\ & + \int_{2/3}^1 \dfrac23 (1-x/2)(x+1) \, dx\\ & = \dfrac23 \left(x^3/3+x^2/2 \right)_0^{2/3}\\ & + \dfrac23 \left(x^2/2+x - x^3/6 - x^2/4 \right)_{2/3}^1\\ & = \dfrac23 \left((2/3)^3/3+(2/3)^2/2 \right)\\ & + \dfrac23 \left(1/2+1 - 1/6 - 1/4 \right)\\ & - \dfrac23 \left((2/3)^2/2 + (2/3) \right)\\ & + \dfrac23 \left((2/3)^3/6 + (2/3)^2/4 \right) \\ & = \dfrac{73}{162} \end{align}$$