¿Podemos concluir la igualdad de la media a partir del punto de Lebesgue?

Question

Supongamos que $x$ es un punto de Lebesgue de la función $f$ . Obviamente, tenemos lo siguiente, $$\lim_{r\to 0}\frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)-f(x)|dy=0.$$ Basándonos en esto, ¿podemos concluir la siguiente igualdad? $$|f(x)| = \lim_{r\to 0}\frac{1}{m(B(x,r))}\int_{B(x,r)}|f(y)|dy.$$ Supongo que necesitaremos la desigualdad del triángulo para demostrar esto.

Answer 1

Sí. Quieres demostrar que $\frac 1 {m(B(x,r)}\int_{B(x,r)} [|f(y)|-|f(x)|]dy \to 0$ y esto se deduce de la calidad de la línea $||f(y)|-|f(x)|| \leq |f(y)-f(x)|$ .

[He utilizado el hecho de que $\frac 1 {m(B(x,r)}\int_{B(x,r)} |f(x)|dy =|f(x)|$ ].

Answer 2

Tenga en cuenta que $|f(y) - f(x)| \geq \big||f(y)| - |f(x)|\big|$ . Así tenemos por linealidad, monotonicidad y relaciones de valor absoluto: $$ \left[\frac 1{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y) - f(x)|dy\right] \\\geq \left[\frac 1{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} \big||f(y) - f(x)|\big|dy\right] \\\geq \left[\frac 1{m(B(x,r))} \left|\int_{B(x,r)} |f(y)| - |f(x)|dy\right|\right] \\\geq \left|\frac 1{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)| dy - \frac 1{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(x)| dy \right| \\\geq \left|\frac 1{m(B(x,r))} \int_{B(x,r)} |f(y)| dy - |f(x)|\right| $$

La primera expresión va a cero, luego la última va a cero. Obsérvese que lo contrario no es cierto.