Fórmula para $1! \times 2! \times \cdots \times n!$ ?

Question

¿Existen formas útiles para la expresión $1!\cdot 2!\cdot 3!\cdot ...\cdot n!$ ? Estoy tratando de resolver un problema que involucra esta expresión y pensé que podría ayudar a encontrar una forma más "viable" para ella, pero no llegué muy lejos.

Gracias

Answer 1

En la edición de mayo de 2013 Trimestral de Fibonacci (Vol. 51, Num. 2) páginas 163-173, Michael Hirschhorn demostró este resultado:

Dejemos que $P(n) =\prod\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} $ . A continuación, (esto va a ser un dolor para entrar), como $n \to \infty$ ,

$$P(n) \sim C^{-1}\dfrac{e^{n(n+2)/2}}{n^{(3n+2))/6}(2\pi)^{(2n+1)/4}} \exp\left(-\sum\limits_{p \ge 1}\dfrac{B_{p+1}+B_{p+2}}{p(p+1)}\dfrac1{n^p}\right) $$ donde $$C =\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac1{n^{1/12}}\prod\limits_{k=1}^n\left( \dfrac{k!}{\sqrt{2\pi k}(k/e)^k} \right) \approx 1.046335066770503 $$ y el $\{B_p\}$ son los números de Bernoulli definidos por $$ \sum\limits_{p \ge 0} B_p \dfrac{x^p}{p!} = \dfrac{x}{e^x-1} .$$

Ahora intentaré usar esto para obtener una estimación de $f(n) =\prod\limits_{k=0}^{n} n! $ .

Desde $P(n) =\dfrac{(n!)^{n+1}}{\prod\limits_{k=0}^{n} (n!)^2} $ , $f(n) =\prod\limits_{k=0}^{n} n! =\sqrt{\dfrac{(n!)^{n+1}}{P(n)}} $ .

Ahora intentaré conseguir una estimación de $f(n)$ del primer término ( $p=1$ ) en la fórmula asintótica para $P(n)$ ..

Desde $B_2=\frac16$ y $B_3=0$ , $B_2+B_3=\frac16$ , Así que, estableciendo $p=1$ en la fórmula de $P(n)$ ,

$\begin{array}\\ P(n) &\sim C^{-1}\dfrac{e^{n(n+2)/2}}{n^{(3n+2))/6}(2\pi)^{(2n+1)/4}} e^{-1/(12n)}\\ &\sim C^{-1}\dfrac{e^{n(n+2)/2}}{n^{(3n+2))/6}(2\pi)^{(2n+1)/4}} \\ \end{array} $

ya que $e^{1/(12n)}$ término va a $1$ .

Por lo tanto, $\dfrac1{\sqrt{P(n)}} \sim C^{1/2}\dfrac{n^{(3n+2))/12}(2\pi)^{(2n+1)/8}}{e^{n(n+1)/4}} $ .

Desde $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left( \dfrac{n}{e}\right)^n $ , $(n!)^{(n+1)/2} \sim (2\pi)^{(n+1)/4} n^{(n+1)/4}\dfrac{n^{n(n+1)/2}}{e^{n(n+1)/2}} = \dfrac{(2\pi)^{(n+1)/4}n^{n(n+1)/2+(n+1)/4}}{e^{n(n+1)/2}} $ .

Por lo tanto,

$\begin{array}\\ f(n) &=\prod\limits_{k=0}^{n} n!\\ &=\sqrt{\dfrac{(n!)^{n+1}}{P(n)}}\\ &\sim \dfrac{(2\pi)^{(n+1)/4}n^{n(n+1)/2+(n+1)/4}}{e^{n(n+1)/2}} C^{1/2}\dfrac{n^{(3n+2))/12}(2\pi)^{(2n+1)/8}}{e^{n(n+2)/4}}\\ &= C^{1/2} \dfrac{(2\pi)^{(n+1)/4+(2n+1)/8}n^{n(n+1)/2+(n+1)/4+(3n+2)/12}}{e^{n(n+1)/2+n(n+2)/4}}\\ &= C^{1/2} \dfrac{(2\pi)^{(4n+3)/8}n^{n(n+1)/2+(6n+5)/12}}{e^{n(2n+2+n+2)/4}}\\ &= C^{1/2} \dfrac{(2\pi)^{(4n+3)/8}n^{n^2/2+(12n+5)/12}}{e^{n(3n+4)/4}}\\ &= C^{1/2} \dfrac{(2\pi)^{(4n+3)/8}n^{n^2/2+(12n+5)/12}}{e^{3n^2/4+n}}\\ &= C^{1/2} \dfrac{(2\pi)^{(4n+3)/8}n^{n^2/2+n+5/12}}{e^{3n^2/4+n}}\\ &= C^{1/2} (2\pi)^{3/8}n^{5/12}(2\pi)^{n/2}(n/e)^n \left(\dfrac{n}{e^{3/2}}\right)^{n^2/2}\\ \end{array} $

(Sí, que definitivamente fue un dolor para entrar).

Como siempre, desde que se hicieron las cuentas como se introdujo, prob(no error) < .5.

Answer 2

Una forma posible es: $$\prod_{i=1}^ni!$$

De otra manera es $$1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdot\cdots\cdot(n-1)^2\cdot n^1$$

Answer 3

A veces se denomina superfactorial de n (aunque hay al menos otra función que también se llama superfactorial), y sus valores vienen dados por Secuencia OEIS A000178 . No creo que haya ningún atajo para calcularlo, aparte de señalar que $sf(n) = \prod_{1 \le i \lt j \le n}\left( j - i \right)$

Answer 4

Obtengamos el comportamiento asintótico de $\prod_{k=1}^n k! = \prod_{k=1}^n k^{n-k+1}$ .

La forma estándar de estimar estas cosas es tomando el logaritmo. Pero en este caso, podemos obtenerlo directamente de la aproximación de Stirling (que a su vez se puede demostrar tomando los logaritmos).

La aproximación de Stirling afirma $n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$ .

Así, $\prod_{k=1}^n k! \sim (2\pi)^n \sqrt{n!} \frac{\prod_{k=1}^n k^k}{e^{n(n+1)/2}}$

Así que ahora sólo tenemos que estimar $\prod_{k=1}^n k^k$ . Podríamos ir a hacer esto, pero aún mejor es usar:

$\prod_{k=1}^n k! \prod_{k=1}^n k^k = \prod_{k=1}^n k^{n-k+1} \prod_{k=1}^n k^k = \prod_{k=1}^n k^{n+1} = (n!)^{n+1}$

Así, $(\prod_{k=1}^n k!)^2 \sim (2\pi)^n \sqrt{n!} \frac{(n!)^{n+1}}{e^{n(n+1)/2}}$

Entonces obtenemos, aplicando la aproximación de Stirling a $\sqrt{n!}$ y $(n!)^{n+1}$ :

$(\prod_{k=1}^n k!)^2 \sim (2\pi)^{2n+3/2}n^{3/4 + n/2}e^{-n(n+1)/2-n/2-n(n+1)} n^{n(n+1)}$

Así, $\prod_{k=1}^n k! \sim (2\pi)^{n+3/4} e^{-3n^2/4 - n} n^{n^2/2 + 3n/4 + 3/8}$