Distancia euclidiana de dos variables aleatorias uniformes

Question

Dos variables aleatorias $X$ y $Y$ están uniformemente distribuidas, cuyas pdfs vienen dadas por $f_{X}\left(x\right) = f_{Y}\left(y\right) = 1/r$ . Estoy tratando de obtener $Z = \sqrt{X^2 + Y^2}$ .

He intentado el enfoque que se muestra a continuación, pero quiero evitar que el $\tan^{-1}$ término en $f_{Z}\left(z\right)$ .

¿Puede alguien ayudarme a encontrar una forma más fácil (algebraica) de $f_{Z}\left(z\right)$ ? Además, lo más deseable es que el resultado $f_{Z}\left(z\right)$ termina con una distribución "conocida" (por ejemplo, Rayleigh).

Mi enfoque:

La fdc de $Z$ se encuentra como \begin{align}\label{eq_F_L} F_{Z}\left( z \right) &= \mathbb{P} \left( Z \le z \right)\nonumber\\ &= \mathbb{P} \left(\sqrt{X^2 + Y^2} \le z\right)\nonumber\\ &= \displaystyle \int_{0}^{r} \mathbb{P} \left(Y \le \sqrt{Z^2 - X^2} \right) f_{X}\left(x\right) \text{d}x\nonumber\\ &\stackrel{(a)}{=} \displaystyle \frac{1}{r^2} \int_{0}^{r} \sqrt{z^2 - x^2} \text{d}x\nonumber\\ &= \frac{1}{r^2} \left[ \frac{1}{2} \left( x \sqrt{z^2 - x^2} + z^2 \tan^{-1}\left( \frac{x}{\sqrt{z^2 - x^2}} \right) \right) \right]_{0}^{r}\nonumber\\ &= \frac{1}{2r^2} \left[ r \sqrt{z^2 - r^2} + z^2 \tan^{-1}\left( \frac{r}{\sqrt{z^2 - r^2}} \right) \right]. \end{align} (a) se deduce de $F_{Y}\left(y\right) = \int f_{Y}\left(y\right) \text{d}y = y/r$ .

Entonces el pdf de de $Z$ puede identificarse como \begin{align}\label{eq_f_L_proof} f_{Z}\left( z \right) &= \frac{\text{d}}{\text{d}z} F_{Z}\left( z \right)\nonumber\\ &= \frac{z}{r^2} \tan^{-1} \left( \frac{r}{\sqrt{z^2 - r^2}} \right). \end{align}

Answer 1

Si consideramos el problema de forma geométrica, está claro que el pdf /cdf no puede sino definirse a trozos

y es fácil derivar el pdf del área del segmento del anillo circular entre $z$ y $z+dz$ interceptado por el cuadrado, dividido por el área de todo el cuadrado ( $r^2$ ), es decir

$$ p(z\,;\,r) = {1 \over {r^{\;2} }}\left\{ {\matrix{ {{\pi \over 2}\,z} & {0 \le z < r} \cr {\left( {{\pi \over 2}\, - 2\arccos \left( {{r \over z}} \right)} \right)z} & {r \le z \le \sqrt 2 \,r} \cr } } \right. $$ dando la fdc como $$ \eqalign{ & P(z\,;\,r) = \left[ {0 \le z \le \sqrt 2 \,r} \right]\left( {{\pi \over 4}\left( {{z \over r}} \right)^{\;2} - 2\left[ {r \le z} \right]{1 \over {r^{\;2} }}\int_{t = r}^z {\arccos \left( {{r \over t}} \right)tdt} } \right) = \cr & = \left[ {0 \le {z \over r} \le \sqrt 2 } \right]\left( {{\pi \over 4}\left( {{z \over r}} \right)^{\;2} - 2\left[ {1 \le {z \over r}} \right]\int_{t/r = 1}^{z/r} {\arccos \left( {{1 \over {t/r}}} \right)\left( {{t \over r}} \right)d\left( {{t \over r}} \right)} } \right) = \cr & = \left[ {0 \le {z \over r} \le \sqrt 2 } \right]\left( {{z \over r}} \right)^{\;2} \left( {{\pi \over 4} - \left[ {1 \le {z \over r}} \right]\left( {\arccos \left( {{1 \over {z/r}}} \right) - {1 \over {z/r}}\sqrt {1 - \left( {{1 \over {z/r}}} \right)^{\;2} } } \right)} \right) \cr} $$ donde los corchetes indican el Soporte Iverson .