Cómo probar esto $|z|>1$ con $1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}=0$

Question

Para dar el entero positivo $n$ y $z\in C$ como este

$$1+z+\dfrac{z^2}{2!}+\cdots+\dfrac{z^n}{n!}=0$$

demostrar que $$|z|> 1$$

tal vez asimilemos que exst $z$ tal $$|z|\le 1$$ entonces tenemos $$z(1+\dfrac{z}{2}+\cdots+\dfrac{z^{n-1}}{n!})=-1$$

así que $$|z|\cdot\left|1+\dfrac{z}{2}+\cdots+\dfrac{z^{n-1}}{n!}\right|=1$$ entonces tenemos $$\left|\dfrac{z}{2}+\cdots+\dfrac{z^{n-1}}{n!}\right|\ge 1$$ entonces no puedo tener idea

Answer 1

Como se menciona en los comentarios, para $n = 1$ el cero es $z = -1$ . Para $n > 1$ Considera que

\begin{align} (1-z)\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} &= \sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!} - \sum_{k=1}^{n+1} \frac{z^k}{(k-1)!}\\ &= 1 + \sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k!} - \frac{1}{(k-1)!}\right)z^k - \frac{z^{n+1}}{n!}. \end{align}

Para $\lvert z\rvert \leqslant 1$ Por lo tanto, tenemos

$$\left\lvert (1-z)\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}\right\rvert \geqslant 1 - \sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!}\right) - \frac{1}{n!} = 0,$$

y la desigualdad es estricta para $z \neq 1$ . Pero es evidente que

$$\sum_{k=0}^n \frac{1^k}{k!} > 0.$$