Estoy tratando de entender la derivación del tensor de curvatura de Riemann que se da en el libro de Foster y Nightingale Un breve curso de relatividad general, p. 102. Comienzan dando la derivada covariante de un campo vectorial covariante $\lambda_{a}$ : $$\lambda_{a;b}=\partial_{b}\lambda_{a}-\Gamma_{ab}^{d}\lambda_{d}.$$ Lo cual está bien. Entonces hacen una segunda diferenciación covariante para obtener $$\lambda_{a;bc}=\partial_{c}\left(\lambda_{a;b}\right)-\Gamma_{ac}^{e}\lambda_{e;b}-\Gamma_{bc}^{e}\lambda_{a;e}.$$ Y estoy perdido. Puedo entender el primer término en el lado derecho, pero por qué hay dos términos de coeficiente de conexión. Esperaría dos términos de coeficiente de conexión negativos si estuvieran tomando la derivada covariante de $\lambda_{xy}$ , pero no $\lambda_{a;b}$ . ¿Es correcto tratar la derivada covariante $\lambda_{a;b}$ como si tuviera dos índices inferiores? En realidad, los términos segundo y tercero de la rhs me parecen completamente desconcertantes.
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La derivada covariante para un tensor general de la forma $T^{a_1\dots a_n}_{b_1 \dots b_n}$ está dada por,
$$\nabla_c T^{a_1\dots a_n}_{b_1 \dots b_n} = \partial_c T^{a_1\dots a_n}_{b_1 \dots b_n} + \Gamma^{a_1}_{cd}T^{d\dots a_n}_{b_1 \dots b_n} + \dots - \Gamma^d_{c b_1}T^{a_1\dots a_n}_{d \dots b_n} - \dots$$
Tomar la derivada covariante de un campo covariante $V_a$ encontramos,
$$\nabla_b V_a = \partial_b V_a - \Gamma^c_{ba}V_c$$
Ahora, el objeto $\nabla_b V_a$ tiene dos índices inferiores, así que tomando la derivada covariante de nuevo, encontramos,
$$\nabla_c (\nabla_b V_a) = \partial_c(\nabla_b V_a) - \Gamma^d_{cb} (\nabla_d V_a) - \Gamma^d_{ca}(\nabla_b V_d)$$
Insertando la derivada covariante original, encontramos explícitamente,
$$\nabla_c (\nabla_b V_a) = \partial_c (\partial_b V_a -\Gamma^{e}_{ba}V_e) - \Gamma^d_{cb}(\partial_d V_a - \Gamma^e_{da}V_e) - \Gamma^d_{ca}(\partial_b V_d - \Gamma^e_{bd}V_e)$$
La derivada covariante de un tensor es a su vez un tensor. En realidad, cuando decimos que algo es covariante (o invariante bajo transformación de coordenadas), queremos decir que esa cosa es un tensor. Así, en este caso $\nabla_\mu V^\nu\equiv T_\mu{}^\nu$ . Ahora calcula $\nabla_\alpha T_\mu{}^\nu$ fácilmente.
\begin{equation} \nabla_\alpha T_\mu{}^\nu=\partial_\alpha T_\mu{}^\nu+\Gamma^\nu_{\alpha \beta} T_{\mu}{}^\beta -\Gamma^\beta_{\alpha \mu} T_{\beta}{}^\nu \end{equation} Cada término gamma del lado derecho se debe a uno de los índices. Obsérvese cómo el signo más o menos ha aparecido delante de cada uno.
P.D., No compare un tensor con una matriz. El significado de tensor es completamente diferente.
El primer término: $$\begin{align} \nabla_i \nabla_j T^k & = \frac{\delta(\nabla_j T^k)}{\delta Z^i} - \Gamma_{ij}^m\nabla_m T^k + \Gamma_{im}^k\nabla_j T^m \\ &= \frac{\delta^2 T^k}{\delta Z^i \delta Z^j} + \frac{\delta(\Gamma^k_{jm}T^m)}{\delta Z^i} - \Gamma_{ij}^m(\frac{\delta T^k}{\delta Z^m} + \Gamma_{ml}^k T^l) + \Gamma_{im}^k(\frac{\delta T^m}{\delta Z^j} + \Gamma_{jl}^m T^l) \\ &= \color{red}{\frac{\delta^2 T^k}{\delta Z^i \delta Z^j}} + \frac{\delta\Gamma^k_{jm}}{\delta Z^i}T^m + \color{green}{\frac{\delta T^m}{\delta Z^i}\Gamma^k_{jm}} - \color{tan}{\Gamma_{ij}^m(\frac{\delta T^k}{\delta Z^m} + \Gamma_{ml}^k T^l)} + \Gamma_{im}^k(\color{plum}{\frac{\delta T^m}{\delta Z^j}} + \Gamma_{jl}^m T^l) \end{align}$$
El segundo término: $$\begin{align} \nabla_j \nabla_i T^k = \color{red}{\frac{\delta^2 T^k}{\delta Z^j \delta Z^i} } + \frac{\delta\Gamma^k_{im}}{\delta Z^j}T^m + \color{plum}{\frac{\delta T^m}{\delta Z^j}\Gamma^k_{im}} - \color{tan}{\Gamma_{ji}^m(\frac{\delta T^k}{\delta Z^m} + \Gamma_{ml}^k T^l)} + \Gamma_{jm}^k(\color{green}{\frac{\delta T^m}{\delta Z^i}} + \Gamma_{il}^m T^l) \end{align}$$
Restando la segunda de la primera tenemos algo que anular. Y te quedas con cuatro términos que no están coloreados:
$$\begin{align} \nabla_i \nabla_j T^k - \nabla_j \nabla_i T^k &= \frac{\delta\Gamma^k_{jm}}{\delta Z^i}T^m - \frac{\delta\Gamma^k_{im}}{\delta Z^j}T^m + \Gamma_{im}^k\Gamma_{jl}^m T^l - \Gamma_{jm}^k\Gamma_{il}^m T^l \\ &= \Big(\frac{\delta\Gamma^k_{jl}}{\delta Z^i} - \frac{\delta\Gamma^k_{il}}{\delta Z^j} + \Gamma_{im}^k\Gamma_{jl}^m - \Gamma_{jm}^k\Gamma_{il}^m \Big)T^l \end{align}$$
