Dada: $\{a,b,c\}\subset \Bbb R$ , $\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{1}{11}\ \ (1)$ . Encuentre el valor de $\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ \ (2).$
Esta pregunta apareció en la OBM 2005, la Olimpiada Brasileña de Matemáticas. La respuesta es $\frac{17}{11}$ . Pero mi solución es, quizás, innecesariamente complicada ya que implica mucho álgebra. ¿Hay una manera fácil de resolver?
Mi intento (esquema): En primer lugar, desarrollé la expresión (1), obteniendo $$abc=5a^2c+5ab^2+5bc^2-6a^2b-6b^2c-6c^2a\ \ (3)$$ Entonces, desarrollado (2) para obtener $$(2)=\frac{{3abc + 2a^2 b + 2ac^2 + 2b^2 c + a^2 c + ab^2 + bc^2 }}{{2abc + a^2 b + ac^2 + a^2 c +b^2 c + ab^2 + bc^2 }}\ (4)$$ Ahora, sustituye $abc$ definición de (3) en (4), y tras un poco de álgebra adicional, obtener $$\frac{{17a^2 c + 17ab^2 + 17bc^2 - 17a^2 b - 17ac^2 - 17b^2 c}}{{11a^2 c + 11ab^2 + 11bc^2 - 11a^2 b - 11ac^2 - 11b^2 c}}=\frac{17}{11}$$ Pregunta: ¿hay una forma más sencilla de llegar al resultado? Se agradecen las respuestas más sencillas o los consejos útiles.
