Demostrando que la fibración de Hopf no tiene secciones globales

Question

Consideremos un principio $U(1)$ -Acabar con el paquete $S^2$ con la función de transición $g_{\infty 0} = z/|z|$ (se conoce como el Fibración de Hopf ). Existe un sencillo argumento topológico que demuestra que este haz no es trivial por comparación de grupos fundamentales. Sin embargo, debería quedar claro directamente a partir de las definiciones.

Así que me gustaría demostrar que este haz no tiene secciones globales (lo que equivale a la no trivialidad). Esto significa que no hay ninguna función continua $f: \mathbb{C} \to U(1)$ tal que existe $$ \lim_{z \to \infty} \frac{z}{|z|} f(z) $$ ¿Cómo se puede demostrar esto?

Answer 1

Considere la función $g(z) = \frac{z}{|z|} f(z)$ en $\Bbb C \setminus \{0\}$ . Su suposición es que esto se extiende a un mapa en $\Bbb{CP}^1 \setminus \{0\}$ . Esto significa que $g$ tiene grado cero como mapa a $U(1)$ (induce la multiplicación por cero en $H_1$ ), ya que se trata de un espacio con $H_1 = 0$ .

Para $z \in S^1$ , $g(z) = z \cdot f(z)$ . El grado es aditivo bajo la multiplicación de funciones a $U(1)$ y vemos que $\text{deg}(f) = -1$ . Sin embargo, por supuesto, $f$ se extiende a través del disco unitario, por lo que debe tener grado cero. Esto es una contradicción.