Método de las características para $(1+x^2)u_x+2u_y=y\cdot(1+u^2)$

Question

Supongamos que tengo un problema como

$$(1+x^2)u_x+2u_y=y\cdot(1+u^2),\;\; u(1,y)=1$$

Es de la forma $$a(x,y)u_x+b(x,y)u_y+c(x,y,u)$$ Así que usaría el Método de las características :

$$\frac{dx}{dt}=(1+x^2)\implies x=\tan(t+c_1)$$ $$\frac{dy}{dt}=2\implies y=2t+c_2$$

Utilizando la condición inicial obtenemos que
$$t=\tan^{-1}x -1,\;\; c_2=y-2\tan^{-1}(x)+2$$ Donde estoy teniendo un poco de problemas es con el $du/dt$ plazo. ¿Lo configuraría como $$\frac{du}{dt}=(2t+c_2)(1+u^2)\implies u=\tan(t^2+c_2t+c_3)?$$ A continuación, sub en el $c_2$ para conseguir $$u=\tan\left[t^2+(y-2\tan^{-1}x+2)t+c_3)\right]?$$ A continuación, utilice la condición inicial de nuevo para obtener que $$u(1,y)=\tan\left[t^2+(y-2\tan^{-1}(1)+2)t+c_3)\right]$$ y resolver para c_3?

Answer 1

$$(1+x^2)u_x+2u_y=y\cdot(1+u^2),\qquad u(1,y)=1$$

Otro enfoque para comparar con lo discutido en los comentarios :

Cambio de función : $u(x,y)=\tan\left(U(x,y)\right) \quad\to\quad \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial x}=(1+u^2)\frac{\partial U}{\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=(1+u^2)\frac{\partial U}{\partial y} \end{cases}$

$$(1+x^2)U_x+2U_y=y$$ con la condición : $u(1,y)=1=\tan\left(U(1,y)\right) \quad\to\quad U(1,y)=\frac{\pi}{4}+n\pi$

Cambio de variable : $\begin{cases}x=\tan(X) \\ U(x,y)=V(X,y)\end{cases}$ $\quad\to\quad (1+x^2)\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial X}$

$$V_X+2V_y=y$$ Condición : $U(1,y)=\frac{\pi}{4}+n\pi=V\left((\frac{\pi}{4}+m\pi),y\right)$

$\frac{1}{4}y^2$ es una solución particular

Cambio de función : $V(X,y)=\frac{1}{4}y^2+W(X,y)$ $$W_X+2W_y=0$$ Condición : $\frac{\pi}{4}+n\pi=\frac{1}{4}y^2+W\left((\frac{\pi}{4}+m\pi),y\right)$

Con el método de las características, las ecuaciones características son :

$$\frac{dX}{1}=\frac{dy}{2}=\frac{dW}{0}$$ Desde $\frac{dX}{1}=\frac{dy}{2}$ la primera curva característica : $\quad 2X-y=c_1$

Desde $dW=0$ la segunda curva característica : $W=c_2$

Solución general en forma implícita : $\Phi(2X-y\:,\: W)=0$ cualquier función diferenciable $\Phi$ de dos variables.

Resolver la ecuación implícita para la segunda variable $\quad\to\quad W=F(2X-y)\quad$ cualquier función diferenciable $F$ .

La condición : $\frac{\pi}{4}+n\pi= \frac{1}{4}y^2+F\left(2(\frac{\pi}{4}+m\pi)-y\right)$ determina la función $F$ : $$F(Y)=\frac{\pi}{4}+n\pi- \frac{1}{4}\left(-Y+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2$$

$$W=F(2X-y)=\frac{\pi}{4}+n\pi- \frac{1}{4}\left(-(2X-y)+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2$$

$$V(X,y)=\frac{1}{4}y^2+W(X,y)=\frac{1}{4}y^2+\frac{\pi}{4}+n\pi- \frac{1}{4}\left(-(2X-y)+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2$$

$$U(x,y)=\frac{1}{4}y^2+\frac{\pi}{4}+n\pi- \frac{1}{4}\left(-(2\tan^{-1}(x)-y)+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2$$

$$u(x,y)=\tan\left(\frac{1}{4}y^2+\frac{\pi}{4}+n\pi- \frac{1}{4}\left(-(2\tan^{-1}(x)-y)+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2 \right)$$ Tras la simplificación : $$u(x,y)=\tan\left(\frac{y^2+\pi-\left(y-2\tan^{-1}(x)+\frac{\pi}{2}+2m\pi\right)^2}{4} \right)$$ cualquier número entero $m$ .