¿Por qué la curvatura geodésica es invariante bajo transformaciones isométricas?

Question

Como sé la curvatura geodésica $$ \kappa_g = \sqrt{\det~g} \begin{vmatrix} \frac{du^1}{ds} & \frac{d^2u^1}{ds^2} + \Gamma^1_{\alpha\beta} \frac{du^\alpha}{ds} \frac{du^\beta}{ds} \\ \frac{du^2}{ds} & \frac{d^2u^2}{ds^2} + \Gamma^2_{\alpha\beta} \frac{du^\alpha}{ds} \frac{du^\beta}{ds} \end{vmatrix}, $$ donde $g$ es el tensor métrico, $\Gamma^v_{\alpha\beta}$ es los símbolos de Christoffel del segundo tipo .

Y la primera forma fundamental de la superficie $I = (du^1, du^2) g (du^1, du^2)^T$ . Creo que $I$ es invariante bajo transformaciones isométricas pero no el tensor métrico $g$ . Entonces, ¿por qué $\kappa_g$ es invariable bajo transformaciones isométricas?

Answer 1

$ \kappa_g$ depende puramente de los coeficientes de la primera forma fundamental (de la teoría de superficies FFF) y sus derivadas, los coeficientes de la segunda forma fundamental SFF no intervienen.

Es invariante en mapeos isométricos (transformaciones de flexión) como longitudes, ángulos, $K$ Curvatura de Gauss, curvatura integral, etc. El teorema de Liouville da las expresiones. Referencia de libros de texto de geometría diferencial.

$K$ es una excepción en la que se pueden utilizar los determinantes de SFF y FFF para derivarlo en el teorema de Egregio de Gauss.

Answer 2

Se trata de una secuencia bien conocida de transformaciones isométricas del Helicoide (zurdo) en el Catenoide de vuelta al Helicoide (diestro). He puesto ejemplos de las principales líneas de curvatura, que son ambas geodésicas. El dibujo no es perfecto, a las superficies que se encuentran en los lados derecho e izquierdo les falta una línea recta roja ( una geodésica) por la línea central del helicoide. (Compara la línea central en el Catenoide -- un círculo ), desde el borde las líneas azules del Helicoide son también líneas rectas. Por cierto el dibujo es bastante grande, puedes hacerte una mejor idea quitándolo de tu pantalla.

Una referencia para $\kappa_g$ es "Lectures on Classical Differential Geometry" de Dirk J. Struik ( Capítulo cuatro , Geometría en la superficie , pp. 128 ). Se demuestra que la curvatura geodésica sólo depende de E,F,G, por lo que es un invariante bajo transformaciones isométricas, o un invariante de flexión como se denomina en el texto.