Resultado parcial solamente (demasiado largo para un comentario y me voy a acostar ahora):
Utilizaré la siguiente maquinaria pesada:
Teorema. ( Distribución de Weyl/equidistribución de secuencias polinómicas ) Deja que $$P(n)=a_dn^d+a_{d-1}+\dots+a_0$$ sea un polinomio donde $a_d$ es irracional. Entonces la secuencia $(\{P(n)\})_{n\in\Bbb N}$ es equidistribuido en $[0,1[$ . (Aquí, $\{\cdot\}$ denota la parte fraccionaria).
En particular, sabemos que el squence $(\{m^2\pi^2\})_{m\in\mathbb N}$ está equidistribuido en $[0,1[$ Así que para todos $\varepsilon>0$ (aquí, $|\cdot|$ denota cardinalidad) $$\lim_{m\to\infty} \frac{|\big\{\{\pi^2\},\{2^2\pi^2\},\dots,\{m^2\pi^2\}\big\}| \cap[0,\varepsilon] }{m} = \varepsilon.$$
Esto significa que, "por término medio", uno de cada $\frac1\varepsilon$ miembros de $m^2\pi^2$ es como máximo $\varepsilon$ del mayor número entero desde abajo. (Nótese que, heurísticamente, queremos $n\cdot\sin(\sqrt n)\approx 0$ Así que $\sqrt n\approx m\cdot\pi$ para algún número entero $m$ y por lo tanto $m^2\cdot\pi^2$ debe estar cerca de un número entero).
Lema. Dejemos que $\{m^2\pi^2\}<\varepsilon$ y $n=\lfloor m^2\pi^2\rfloor$ . Entonces $n\cdot\sin(\sqrt n)\in[-n\sqrt \varepsilon, n\sqrt \varepsilon]$ .
Prueba. Tenemos (nótese que $\sqrt{m^2-\varepsilon}=\sqrt{m+\sqrt\varepsilon}\sqrt{m-\sqrt\varepsilon}>m-\sqrt\varepsilon$ ) $$\sqrt n = \sqrt{m^2\pi^2-\{m^2\pi^2\}}\in[\sqrt{m^2-\varepsilon},m\pi]\subset[m-\sqrt \varepsilon,m\pi].$$
Desde $\sin$ es $1$ -Lipschitz, tenemos $$\sin(\sqrt n)\in[-\sqrt \varepsilon,\sqrt\varepsilon].$$ Así se consigue una prueba. $\square$
Ahora me gustaría concluir diciendo que $\varepsilon$ es arbitrariamente pequeño. Pero , $n$ depende de $m$ y por lo tanto en $\varepsilon$ y puede llegar a ser muy grande antes de $\{m^2\pi^2\}<\varepsilon$ . Parece que es necesario cuantificar un poco más "la rapidez con la que la serie se equidistribuye".
Observación. Ni siquiera estoy seguro de si $0$ es realmente un punto límite. Un resultado inverso también puede ser demostrable utilizando un enfoque similar al mío de arriba.
