¿Una buena explicación pictórica de la separación de variables?

Question

Estoy enseñando ecuaciones diferenciales ordinarias por primera vez, y me gustaría dar una explicación visual convincente de por qué tiene sentido "multiplicar por $dx$ " e integrar cuando se quiera resolver una ecuación separable como $\frac{dy}{dx} g(y) = f(x)$ .

A grandes rasgos lo que se me ocurrió: se puede utilizar la pendiente de la tangente de una solución de la ecuación para dar dos triángulos rectángulos congruentes con longitudes de lados "adyacentes" y "opuestos" $(\Delta x, \Delta y)$ (aproximadamente) y $(g(y), f(x))$ . Utilizando el hecho de que son triángulos semejantes, vemos que la multiplicación cruzada da como resultado $g(y)\,\Delta y = f(x) \,\Delta x$ (realmente de forma aproximada), y estas son aproximaciones de las áreas representadas por $\int g(y) \,dy$ y $\int g(x) \,dx$ .

Pregunta: ¿Existen otras explicaciones visuales para el método de separación de variables? ¿Quizás una que pueda hacer una conexión más directa con las áreas y/o que sea más precisa?

Answer 1

Les pido que no enseñen a sus alumnos a multiplicar con $dx$ ya que esto puede causar problemas conceptuales a los estudiantes más débiles en el futuro. En concreto, $dx$ no es un número real, sino que representa parte de un proceso de limitación. Te recomiendo que hagas hincapié en la aplicación de la regla de la cadena de la diferenciación. Específicamente dado \begin{equation} f(x) = g(y(x)) y'(x) \end{equation} Yo, en cambio, haría hincapié en la necesidad de encontrar una función $G$ tal que \begin{equation} \frac{dG}{dy}(y) = g(y) \end{equation} para poder aplicar la regla de la cadena, reduciendo la ecuación a \begin{equation} f(x) = \frac{d}{dx} \left[ G(y(x)) \right] = g(y(x))y'(x) \end{equation} que motivará a sus alumnos a encontrar una integral para $f$ .