Resolver la ecuación
$$(2x+7)^2=(2x-1)^2$$
$t=2x-1 $ por lo que la ecuación se convierte en $$ (t+8)^2 = t^2 $$
Ahora hagamos una "prohibida" - tomemos una raíz cuadrada de ambas partes (teniendo en cuenta que $\sqrt{x^2} = \lvert x\rvert$ ), por lo que obtenemos una unión de soluciones de dos ecuaciones
$$ t+8 = t \\ t+8 = - t $$
$-(t+8) = t, -(t+8) = -t $ son iguales a las 2 ecuaciones anteriores, por lo que no es necesario resolverlas por separado.
La primera ecuación es una contradicción ( 0 = 8) por lo que no tiene soluciones.
La segunda ecuación da $t = -4 \Rightarrow 2x-1 = -4 \Rightarrow x = -3/2$ y ésta es la única solución de la ecuación cuadrática original, y no es necesario comprobarla (sustituirla en la ecuación original) porque todas las transformaciones a lo largo del camino fueron equivalentes.
¿Puedo seguir adelante y tomar las raíces cuadradas de esa manera en mis exámenes, está bien?
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Sí, está bien.
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Se ve bien. Si puedes hacerlo en el examen depende de tu profesor, así que pregúntale. Puede que no sólo dependa de si es correcto o no, sino también de cuánto tengas que explicar en el examen.
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Otra forma sería factorizar : $$(t+8)^2-t^2=(t+8-t)(t+8+t)=0$$ y uso que tiene un producto $0$ si y sólo si uno de los factores es lo que conduce exactamente a su enfoque. En este caso, sin embargo, multiplicar las expresiones también es bastante fácil. En resumen, el planteamiento es perfectamente válido, pero un poco inusual.