No surjective pero inyectiva real de funciones polinómicas $\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$

Question

Más de algebraicamente cerrado campos de $K$, el Ax–teorema de Grothendieck (ver también este hilo) los estados que inyectiva funciones polinómicas $K^n \to K^n$ $n$ variables son surjective. Hay una simple contraejemplo de esta instrucción para el real funciones polinómicas es decir $K=\mathbb{R}$?

Answer 1

La declaración del teorema mantiene incluso para $k=\mathbb{R}$. Ver el artículo

Białynicki-Birula, A., Rosenlicht, M.: Inyectiva Morfismos de Real Variedades Algebraicas.

Answer 2

Una función polinómica $f:\mathbb R\to\mathbb R$ es de grado impar y surjective, o aún de grado y no inyectiva.