Evalúa la integral: $I(a,b,s,m)=\int_0^{\infty } \lambda ^a e^{\frac{(m-\log (\lambda ))^2}{2 s^2}-\frac{\lambda }{b}} \, d\lambda$ .

Question

$$I(a,b,s,m)=\int_0^{\infty } \lambda ^a e^{\frac{(m-\log (\lambda ))^2}{2 s^2}-\frac{\lambda }{b}} \, d\lambda$$ con $a,b,s,m>0$ .

Answer 1

Esto no converge. Dejemos que $u=log(\lambda)$ , $d\lambda = e^udu$ y la integral se convierte en $I(a,b,s,m)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{au}e^{\frac{(m-u)^2}{2s^2} - \frac{e^u}{b}}e^udu$ . Como $u\rightarrow -\infty$ el integrando irá a $\infty$ como el $e^{u^2}$ dominará todos los demás términos. Obsérvese que a medida que $u \rightarrow \infty$ El $e^{-e^u}$ domina y el integrando irá a cero. Pero como $u\rightarrow -\infty$ , $e^{-e^u}\rightarrow 1$