Desconcertado por la frecuencia de Nyquist

Question

Digamos que tengo un seno de 1kHz, sin armónicos superiores, entonces necesito muestrearlo al menos a 2kHz para poder reconstruirlo.
Pero si muestro a 2kHz, pero todas mis muestras están en el paso por cero, entonces mi señal muestreada no muestra un seno en absoluto, sino el ECG de un paciente fallecido. ¿Cómo se puede explicar esto?

Esto también puede ampliarse a frecuencias de muestreo más altas. Si muestro una forma de onda más compleja a 10kHz, debería obtener al menos los 5 primeros armónicos, pero si la forma de onda es tal que las muestras son cada vez cero, entonces de nuevo no obtenemos nada. Esto no es descabellado, es perfectamente posible para una onda rectangular con un ciclo de trabajo < 10%.

Entonces, ¿por qué parece que el criterio Nyquist-Shannon no es válido en este caso?

Answer 1

En realidad necesitas poco más de 2 kHz de frecuencia de muestreo para muestrear correctamente las ondas sinusoidales de 1 kHz. Es $$ f_N < f_S / 2 $$ no $$ f_N \le f_S / 2 $$

P.D. Si se lleva la señal al espacio complejo, donde una sinusoide es de la forma $$v(t) = Ae^{j(2 \pi f t - \theta)} = A(\cos(2 \pi f t - \theta) + j \sin(2 \pi f t - \theta))$$ donde t es el tiempo, A es la amplitud, f es la frecuencia, y es el desfase, $$ f_N = f_S / 2 $$ es el punto en el que la frecuencia se "dobla", es decir, no se puede distinguir f de -f . Los aumentos de frecuencia posteriores aparecerán, tras el muestreo, con la frecuencia de muestreo restada, en el caso de una sinusoide pura.

No sinusoides

Para el caso de una onda cuadrada a 1 kHz con un ciclo de trabajo menor o igual al 10% que se muestrea a 10 kHz, estás entendiendo mal la entrada.

En primer lugar, hay que descomponer la forma de onda en una serie de Fourier para averiguar cuáles son las amplitudes de los armónicos que la componen. Probablemente se sorprenderá de que los armónicos de esta señal sean bastante grandes a partir de los 5 kHz. (La regla general es que el tercer armónico es 1/3 del fundamental y el quinto es 1/5 del fundamental), sólo se aplica a las ondas cuadradas de ciclo de trabajo del 50%. .)

La regla general para una señal de comunicaciones es que su ancho de banda complejo es el mismo que el inverso del tiempo de su pulso más pequeño, así que en este caso estás buscando un ancho de banda mínimo de 10 kHz (-5 kHz a 5 kHz) para un ciclo de trabajo del 10% con la fundamental a 1 kHz (es decir, 10 kbps).

Lo que te arruinará es que estos fuertes armónicos de orden superior se plegarán e interferirán (constructiva o destructivamente) con tus armónicos de la banda, por lo que es perfectamente esperable que no consigas un buen muestreo porque mucha información está fuera de la banda de Nyquist.

Answer 2

Mike lo explica bien: es el aliasing el que hace desaparecer los armónicos en la señal muestreada, el plegado de las frecuencias más altas de \$F_S + f\$ a \$F_S - f\$ .
Cuando se trabaja con señales muestreadas se siempre tienen que asegurarse de filtrar todo lo que esté por encima de \$F_S / 2\$ .

En este espectro la parte azul es el espectro de su señal de banda base de \$-F_S / 2\$ a \$F_S / 2\$ . (Ver esta pregunta sobre las frecuencias negativas).
Obsérvese que este espectro se repite alrededor de cada múltiplo de \$F_S\$ . En este ejemplo no hay ningún problema; la señal original está separada de las imágenes y se puede reconstruir.

En este ejemplo (sólo se muestran las frecuencias positivas) podemos ver que la señal de la banda base se extiende hasta más allá de \$F_S / 2\$ . Debido al plegado los alias se solapan con nuestra señal base, y no hay forma de filtrarlos de nuevo. Por eso se necesita un filtro de paso bajo (agudo).

Ahora puedes decir que el pulso se verá completamente diferente después del filtrado de paso bajo, y eso es correcto, pero si no quieres eso has elegido tu frecuencia de muestreo demasiado baja. (Para una señal discontinua como el pulso, que tiene un espectro infinito, siempre tendrás distorsión, sea cual sea tu \$F_S\$ ). Recuerde que puede reconstruir la señal sólo para frecuencias menores que \$F_S / 2\$ .

Answer 3

El teorema está bien. Tu señal NO debe contener frecuencias iguales o superiores a la mitad de la frecuencia de muestreo, según Nyquist. Shannon probablemente lo permite, pero es su versión del teorema, que probablemente causa ambigüedad en la frecuencia crítica.

Editar (Re: downvoting para la respuesta corta ?): No veo la necesidad de explicar el método de muestreo en sí. La pregunta es acerca de la confusión "es la frecuencia crítica incluido en la banda o no es", y si la redacción del teorema de Shannon contiene error. En realidad lo hace (como lo veo en la wiki del mundo). O lo más probable es que los autores de la wiki citaron su palabra de forma imprecisa. Y por cierto, hay 4 autores independientes en el siglo XX de este mismo teorema, así que la confusión de cualquiera que aprenda la idea de fuentes aleatorias puede empeorar.

Answer 4

Si tienes 2 muestras en una onda sinusoidal de \$N Hz\$ y se producen en los cruces del cero, en \$\frac{1}{2}N\$ y \$1N\$ entonces puedes determinar la frecuencia de la señal por el tiempo entre las dos muestras.

\$f=\dfrac{1}{2t}\$

Dónde \$f\$ es la frecuencia y \$t\$ es el tiempo entre dos muestras de cruce de cero.

Pero según la Wikipedia:

En esencia, el teorema demuestra que una señal analógica de banda limitada que ha sido muestreada puede reconstruirse perfectamente a partir de una secuencia infinita de muestras si la frecuencia de muestreo supera las 2B muestras por segundo, donde B es la frecuencia más alta de la señal original.

Por lo tanto, una frecuencia de muestreo del doble de la frecuencia es errónea: debería ser poco más de el doble de la frecuencia. De este modo, las muestras sucesivas capturan porciones ligeramente diferentes de la forma de onda.

Answer 5

Al muestrear a una velocidad F determinada, cada componente de frecuencia f generará alias de la forma kF+ f y kF- f para todos los valores enteros de k. En el uso común, no hay componentes de frecuencia por encima de F/2 cuando se muestrea la señal, por lo que los únicos componentes en el rango de 0 a F/2 serán los que estaban presentes en la señal original. Después del muestreo, habrá componentes de la señal por encima de F/2 (generados como alias de los de abajo). Los más problemáticos para cualquier frecuencia son f en la señal original será la de la frecuencia F- f .

Tenga en cuenta que a medida que la frecuencia f se acerca a F/2 desde abajo, la primera frecuencia de alias se acercará a F/2 desde arriba. Si la entrada contiene una señal a la frecuencia F/2-0,01Hz, habrá un alias a la frecuencia F/2+0,01Hz, justo 0,02Hz por encima. La separación de las señales original y de alias será teóricamente posible, pero en la práctica será difícil. La forma de onda muestreada aparecerá como la suma de dos ondas de igual fuerza y casi igual frecuencia. Como tal, su amplitud parecerá cambiar con la fase relativa de las ondas de mayor frecuencia. En el caso de que la frecuencia de entrada sea exactamente F/2, la frecuencia del alias también será exactamente F/2. Como no habrá ninguna separación de frecuencia entre el original y el alias, la separación será imposible. La relación de fase entre las señales original y de alias determinará la amplitud de la señal resultante. Si las señales original y de alias están desfasadas 180 grados, las señales original y de alias se cancelarán exactamente.