Encontrar el conjunto de puntos donde la función no es diferenciable.

Question

El problema exacto :

Sea S el conjunto de todos los puntos de $\left (- \pi , \pi \right) $ en la que la función , $f(x) = \textrm {min} \{\sin x, \cos x\}$ es no diferenciable. Entonces, S es un subconjunto de ¿cuál de los siguientes?

1. $\{ \pi/4 , 0 , \pi/4 \}$
2. $\{ -3\pi/4 , -\pi/4 , 3\pi/4 , \pi/4\}$
3. $\{-\pi/2 , -\pi/4 , \pi/4 , \pi/2 \}$
4. $ \{-3\pi/4 , -\pi/2 , \pi/2 , 3\pi/4\}$ .

Para mí la función $f(x) = \textrm{min} \{\sin x , \cos x \}$ parecía un poco raro comprobar la diferenciabilidad por el definición rigurosa Me he cansado de evaluar la función en varios puntos y la he trazado para buscar cualquier arista aguda. Aquí está lo que he hecho.

$$ f(0) = 0~~ , f(\frac{\pi}{2}) = 0~~ , f(\frac{-\pi}{4}) = \frac{-1}{\sqrt 2}~~ , f(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt 2}~~ , f(\frac{-\pi}{3}) = -\frac{\sqrt 3}{2}~~ , f(\frac{\pi}{3} ) = \frac{1}{2}$$ .

El único punto agudo que puedo ver es el de $x = \pi/3$ . Pero, ¿cuál es la forma adecuada de resolver esta cuestión? ¿Y cómo resolverla?

Una pregunta más difícil :- ¿Este tipo de problemas está pensado para ser resuelto por un alumno? Creo que la persona que ha hecho esta pregunta es la única que sabe resolverla en un examen con 30 preguntas de este tipo y en sólo una hora.

Answer 1

Queremos encontrar los puntos donde $\cos(x)=\sin(x)$ es decir, los puntos donde $f$ transiciones de $\cos(x)$ a $\sin(x)$ . Esto nos da $x=\pi/\mathbf 4$ no $\pi/3$ como tú, que no aparece en las respuestas.

Es posible que quieras hacer un gráfico $\cos(x)$ y $\sin(x)$ simultáneamente para ver esto mejor.

Por último, debería comprobar los derivados en $\pi/4$ para ver que la función no es diferenciable allí.