Derivación del error estándar

Question

He leído los otros posts sobre el error estándar y la prueba es ordenada y soy capaz de seguirla, sin embargo, como soy nuevo en estadística, hay alguna laguna en la lógica y el concepto entre la prueba.

Este es el enlace que sigo de cerca en método general para derivar el error estándar

A continuación, mi intento de reconstruir la prueba, pero me confundo mucho con la definición de variable aleatoria. En particular, dada una población que consiste en toda la altura de las personas en California que sigue una cierta distribución con varianza $\sigma^2$ entonces podemos definir una variable aleatoria $X$ tal que $X$ se hace cargo de todas las alturas del pueblo de California. Denote cada observación en $X$ para ser $X_i, 1 \leq i \leq n$ ¿es cierto que cada $X_i$ ¿es también una variable aleatoria que sigue la misma varianza? Verás por qué me confundo con el prueba dada a continuación por mí.

Ya que estamos probando la derivación del error estándar de la media. Sea la media muestral una variable aleatoria llamada $\bar{X}$ , pretendemos encontrar la varianza de este $\bar{X}$ . Para cualquier $\bar{X}$ es simplemente igual a $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$ donde $n$ es el tamaño de la muestra y $X_i, 1 \leq i \leq n$ es una única observación de la población. Aquí podemos decir que cada $X_i$ es una variable aleatoria también independiente y que sigue una varianza poblacional de $\sigma^2$ . Desde $$\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i$$ por lo que se deduce que

$ \begin{aligned} \text{Var}(\bar{X}) &= \text{Var}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right) \\ & =\left(\frac{1}{n}\right)^2\sum_{i=1}^{n}\text{Var}(X_i)\\ & = \left(\frac{1}{n}\right)^2(n\sigma^2)\\ &= \frac{\sigma^2}{n}\\ \end{aligned} $

Answer 1

Conceptualmente, la población representa la distribución de valores que puede tomar la variable aleatoria. La variable aleatoria, $X$ representa el valor de una muestra elegida al azar de esta población. En este problema, es la altura de una persona al azar entre los californianos. También podríamos elegir a dos personas y llamarlas $X,Y$ y analizar sus propiedades, por ejemplo, la media, el máximo, etc. Podríamos haber llamado a esas VR como $X_1,X_2$ mientras que nada cambia conceptualmente. O bien, podríamos elegir $n$ personas de la población y nombrarlas $X_1,X_2,...,X_n$ . Estos son todavía RVs. Puede tener datos para estos $n$ personas, pero aún así no impide que sean modelados como RVs. Los datos podrían considerarse como realización de esta colección de vehículos recreativos. Es como lanzar una moneda $n$ veces y teniendo $X_1,X_2,...,X_n$ como sus resultados.