Demostración de la entereza de una función a trozos

Question

He intentado resolver este problema con esta estrategia. Sabemos que si una función tiene una representación en serie de potencias con radio de convergencia R, es analítica en ese radio. Puedo obtener claramente un radio de convergencia infinito para la parte superior de la función a trozos, lo que implica que g es analítica en todas partes excepto quizá en 0. Necesito comprobar que g(z) es diferenciable en 0, pero desgraciadamente no se nos permite utilizar la regla de L'Hoptial. Sé que el límite de la mitad superior a medida que g se acerca a 0 es 1/2, mirando la expansión en serie. ¿Alguna idea de cómo proceder?

Answer 1

Como ha señalado, el único problema posible está en $0$ . La pieza superior tiene una singularidad en $0$ ; intenta determinar qué tipo de singularidad es.

Como la serie de potencias converge en 0 a g(0), sabemos algo más que que g es continua en 0: sabemos que g es analítica en 0.