La categoría de posets

Question

Estoy tratando de enseñarme la teoría de las categorías y, como principiante, estoy buscando ejemplos con los que tenga una experiencia práctica.

Casi todos los textos de introducción a la teoría de categorías contienen los siguientes hechos.

1. La clase de todos los posets con mapas isótonos es una categoría (llamada $Pos$ ).
2. Cada poset individual $P$ es una categoría, con pares comparables $x\leq y$ como flechas. Esto puede llamarse "un poset categorizado".

A veces, producto y coproducto en $Pos$ se caracteriza y (menos frecuentemente) se señala que un Conexión de Galois puede caracterizarse como un par de funtores adyacentes de posets categorizados. Además, a veces se menciona se menciona a veces que los productos y coproductos en los posets categorizados se unen $\vee$ y se reúne $\wedge$ por lo que un poset categorizado tiene productos y coproductos si es una red latente.

Además, algunos textos contienen el hecho de que la categoría de posets finitos y la categoría de retículos distributivos finitos son dualmente equivalentes -- esto es extremadamente útil.

Pero no puedo encontrar mucho más. Por ejemplo, cuando intenté buscar ecualizadores y coequalizadores en $Pos$ La única fuente que he encontrado es la tesis doctoral de Pietro Codara, disponible aquí que es de 2004 y caracteriza a los (co)ecualizadores en $Pos$ .

¿Alguien sabe de otras fuentes de información sobre $Pos$ desde el punto de vista de la teoría de las categorías? En concreto, estoy buscando cosas como

• funtores útiles para $Pos$ y de $Pos$ ,
• pullbacks, pushouts y otras construcciones universales en $Pos$ ,
• ejemplos de funtores adyacentes, aplicaciones del lema de Yoneda, etc.

Answer 1

Hay un ejemplo de categoría de modelo estructura en un preoder de familias de conjuntos, definida como sigue: $X\leq Y$ si cada elemento $x\in X$ está acotado $x\leq y_x$ por algún elemento de $y_x\in Y$ ; familias $X$ y $Y$ son débilmente equivalentes si $X\leq Y$ y para cada $y\in Y$ hay $x\in X$ tal que $y$ y $x$ difieren en un número finito de elementos; los objetos cofibrantes son familias de conjuntos contables.

El ejemplo también es bastante fácil, sin embargo, es de naturaleza teórica de conjuntos. Puede encontrar las definiciones en

Una teoría de homotopía para la teoría de conjuntos, I Un enfoque homotópico de la teoría de conjuntos