La categoría de posets

Question

Estoy tratando de enseñarme la teoría de las categorías y, como principiante, estoy buscando ejemplos con los que tenga una experiencia práctica.

Casi todos los textos de introducción a la teoría de categorías contienen los siguientes hechos.

1. La clase de todos los posets con mapas isótonos es una categoría (llamada $Pos$ ).
2. Cada poset individual $P$ es una categoría, con pares comparables $x\leq y$ como flechas. Esto puede llamarse "un poset categorizado".

A veces, producto y coproducto en $Pos$ se caracteriza y (menos frecuentemente) se señala que un Conexión de Galois puede caracterizarse como un par de funtores adyacentes de posets categorizados. Además, a veces se menciona se menciona a veces que los productos y coproductos en los posets categorizados se unen $\vee$ y se reúne $\wedge$ por lo que un poset categorizado tiene productos y coproductos si es una red latente.

Además, algunos textos contienen el hecho de que la categoría de posets finitos y la categoría de retículos distributivos finitos son dualmente equivalentes -- esto es extremadamente útil.

Pero no puedo encontrar mucho más. Por ejemplo, cuando intenté buscar ecualizadores y coequalizadores en $Pos$ La única fuente que he encontrado es la tesis doctoral de Pietro Codara, disponible aquí que es de 2004 y caracteriza a los (co)ecualizadores en $Pos$ .

¿Alguien sabe de otras fuentes de información sobre $Pos$ desde el punto de vista de la teoría de las categorías? En concreto, estoy buscando cosas como

• funtores útiles para $Pos$ y de $Pos$ ,
• pullbacks, pushouts y otras construcciones universales en $Pos$ ,
• ejemplos de funtores adyacentes, aplicaciones del lema de Yoneda, etc.

Answer 1

He aquí un hecho que debería ser mucho más conocido de lo que es. La categoría de los posets es isomorfa (no sólo equivalente) a la categoría de $T_0$ Espacios Alexandrof. Se dice que un espacio topológico es Alexandrof si las intersecciones arbitrarias (no sólo finitas) de conjuntos son abiertas. Por ejemplo, todo espacio topológico finito es un espacio de Alexandrov. Los espacios finitos son fascinantes y la conexión con la topología algebraica es muy estrecha: los espacios finitos tienen asociados complejos simpliciales finitos. No te limites a mirar categóricamente: eso ¡eso le quita la diversión! Hay notas en mi página web y hay un libro de Barmak.

Answer 2

He aquí algunas observaciones básicas y ejemplos: ( Precaución. Esta respuesta se refiere a los preórdenes; pero muchas de las observaciones se aplican también a los conjuntos parcialmente ordenados (también conocidos como posets)

• Muchos conceptos de la teoría de categorías tienen una bonita ilustración cuando se aplican a los preórdenes; pero también al revés: Muchos conceptos conocidos de los preórdenes se trasladan a las categorías (por ejemplo, los colímites motivados por los supremos; véase también más adelante).

• Esto se justifica en parte por la siguiente observación: Una categoría arbitraria es una especie de preorden pero en la que hay que especificar además un razón por qué $x \leq y$ en forma de flecha $x \to y$ . Los axiomas para una categoría te dicen: Para cada $x$ hay una razón distinguida para $x \leq x$ y siempre que tenga una razón para $x \leq y$ y para $y \leq z$ También se obtiene una razón para $x \leq z$ .

• Un preorden es una categoría tal que cada diagrama conmuta.

• En un preorden, el límite de un diagrama es igual al ínfimo de los objetos implicados. Del mismo modo, un colímite es sólo un supremum. Los morfismos de transición no importan.

• Cuando $f^* : P \to Q$ es un functor cocontinuo entre preórdenes, donde $P$ está completo, entonces $f^*$ tiene un adjunto derecho $f_*$ ; puede escribirlo explícitamente: $f_*(q)$ es el infimo del $p$ con $f^*(p) \leq q$ . Esta construcción motiva el Teorema del Funtor Adjunto General. En este entorno sólo tenemos que añadir la condición de conjunto de soluciones, para que el límite a priori grande pueda ser sustituido por uno pequeño y por tanto exista.

• Dejemos que $f : X \to Y$ sea un mapa de conjuntos. Entonces el funtor de preimagen $\mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ entre los conjuntos de potencias es adjunto a la derecha del functor de imagen $\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$ . Todo functor monoidal cocontinuo $\mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$ surge de esta manera.

• El functor de inclusión $\mathrm{Pre} \to \mathrm{Cat}$ tiene un adjunto a la izquierda: envía cada categoría a su conjunto de objetos con el orden $x \leq y$ si existe un morfismo $x \to y$ . En particular, preserva todos los límites. De hecho, crea todos los límites, y los límites en $\mathrm{Cat}$ se construyen "puntualmente". Así, lo mismo ocurre con los límites en $\mathrm{Pre}$ (que igualmente se podría ver directamente). Por ejemplo, el retroceso de $f : P \to Q$ y $g : P' \to Q$ es el pullback de los conjuntos $P \times_Q P'$ equipado con la orden $(a,b) \leq (c,d)$ si $a \leq c$ y $b \leq d$ . Si aplicamos esto a los núcleos de diferencia, vemos que $f : P \to Q$ es un monomorfismo si el mapa subyacente de $f$ es inyectiva.

• El functor de olvido $\mathrm{Pre} \to \mathrm{Set}$ crea coproductos: Tomar la unión disjunta $\coprod_i P_i$ y tomar la orden $a \leq b$ si $a,b$ yacen en el mismo $P_i$ y con respecto a ese preorden tenemos $a \leq_i b$ .

• La construcción de coequivalentes parece ser más delicada; véase este Discusión de la SE.

No tengo una referencia para todas estas observaciones, pero son fáciles. Una referencia general para las construcciones básicas de la teoría de las categorías (y seguramente dice algo sobre los preórdenes y los posets) es el libro "Abstract and Concrete Categories - The Joy of Cats" de Adamek, Herrlich, Strecker que puedes encontrar en internet.

EDIT: Aquí hay algo no tan básico: Sefi Ladkani estudió la noción de equivalente derivado posets. Dos posets $X,Y$ se denominan (universalmente) derivadas equivalentes si para alguna (toda) categoría abeliana específica $\mathcal{A}$ las categorías del diagrama $\mathcal{A}^X$ , $\mathcal{A}^Y$ son derivados equivalentes.

Answer 3

Probablemente no es lo que buscas, pero:

Existe este documento reciente de George Raptis:

Teoría de la homotopía de los posets , 2010

discutir sobre las estructuras de la categoría de modelos en la categoría de posets.

Answer 4

En un papel de Doubilet, Rota y Stanley , ven el álgebra de incidencia de un poset como un functor contravariante de alguna subcategoría de $Pos$ a la categoría de álgebras sobre un campo $K$ . Por ejemplo, se puede recuperar de forma única el poset a partir de su álgebra de incidencia.

Creo que esto es bastante interesante porque luego muestran cómo llegar a algunos tipos de funciones generadoras familiares de la combinatoria.

Answer 5

Los complejos simpliciales abstractos resultan ser posets, y a cada complejo simplicial abstracto se puede asociar un espacio topológico, su realización geométrica. Esto es como el functor $\mathrm{Pos} \rightarrow \mathrm{Top}$ . (los asc se definen por la propiedad de que si $A \in \Delta$ y $B\subseteq A$ , entonces $B \in \Delta$ )

Además, puede que quieras echar un vistazo a la teoría de los edificios Bruhat--Tits. Básicamente, uno asocia a un grupo algebraico simple un cierto complejo simplicial $\Delta(G)$ . Sin embargo, he tratado de averiguar si esa asociación es un functor sin ningún éxito desde que me di por vencido.

Ambos ejemplos parecen ser más geométricos/topológicos/algebraicos que realmente teóricos de la categoría (es decir, más centrados en los objetos que en el functor), pero tal vez sea instructivo.