Una subestructura elemental equivalente a su estructura, ¿no es un error de ejemplo de subestructura elemental?

Question

Así que nos dieron este ejemplo para mostrar que la subestructura que es equivalente elemental a su estructura, no es necesariamente una subestructura elemental.

Para que quede clara la definición: Una subestructura $M$ de $N$ es una subestructura elemental, si para cada fórmula $\phi (v_1, \cdots, v_n)$ y para cada $\overline b=(b_1, \cdots, b_n) \in M^n$ , $M \vDash \phi( \overline b) \iff N \vDash \phi( \overline b)$ .

Así que el ejemplo que nos dieron es $N=(\mathbb N; <)$ y $M=(5,6,7,...;<)$ . Así que hay un isomorfismo $f(n)=n+5$ Así que $N$ y $M$ son elementalmente equivalentes. Sin embargo, y esta es la parte que no entiendo, para $\phi: \exists x: x\lt 5$ En efecto $N \vDash \phi$ pero $M \not\vDash \phi$ . Así que $M$ no es una subestructura elemental de $N$ .

Lo que es cierto en general, para $\overline b \in N^n$ pero nuestra exigencia de probar (o refutar), es que $\overline b \in M^n$ y no hay tal $\overline b$ para que $N \vDash \phi (\overline b)$ ¿o me estoy perdiendo algo aquí?

Answer 1

La fórmula dada $\phi:=\,\exists x: x<5$ no tiene ninguna variable no limitada, sino que utiliza un constante (a saber $5$ ) que no está disponible en el lenguaje, ya que sólo tenemos un símbolo de operación binaria ( $<$ ) y sin símbolos constantes.

Como ha comentado nombre, lo más probable es que la fórmula sea con una variable libre: $$\phi(y):=\,\exists x:x<y\,.$$

Ahora sí tenemos eso $f=n\mapsto n+5$ es un isomorfismo entre las estructuras $N$ y $M$ lo que implica que $N$ y $M$ son elementalmente equivalentes (validan el mismo cerrado fórmulas sobre el lenguaje dado).

Sin embargo, la elección de $b=5\in M\subseteq N$ con $\phi$ en la definición de "subestructura elemental", tendremos $N\models\phi(5)$ mientras que $M\not\models\phi(5)$ .