¿Cómo se reproducen las leyes de Newton a mayor escala?

Question

Ahora estaba leyendo Las conferencias de Feynman sobre física y encontré esto que me pareció algo peculiar y profundo y por eso quiero su ayuda aquí. Así que aquí va:

El teorema relativo al movimiento del centro de masa es muy interesante y ha desempeñado un papel importante en el desarrollo de nuestra comprensión de la física. Supongamos que la ley de Newton es correcta para los pequeños componentes de un objeto mucho mayor. Entonces este teorema muestra que la ley de Newton también es correcta para el objeto mayor, incluso si no estudiamos los detalles del objeto, sino sólo la fuerza total que actúa sobre él y su masa. En otras palabras, la ley de Newton tiene la peculiar propiedad de que si es correcta a una determinada escala pequeña, lo será también a una escala mayor. Si no consideramos una pelota de béisbol como una cosa tremendamente compleja, hecha de miríadas de partículas que interactúan, sino que estudiamos sólo el movimiento del centro de masa y las fuerzas externas sobre la pelota, encontramos $F=ma$ , donde $F$ es la fuerza externa sobre la pelota de béisbol, $m$ es su masa, y a es la aceleración de su centro de masa. Así que $F=ma$ es una ley que se reproduce a mayor escala.

Ahora bien, aquí sí entiendo que el teorema del centro de masa se reproduce a mayor escala y puedo entender por qué es así, pero no entiendo cómo este teorema lleva a la conclusión de que las leyes del movimiento de newton también tienen esta peculiar propiedad.

Aparte de esto, quiero saber por qué las leyes newtonianas tienen este replicando propiedad. ¿Es simplemente un hecho experimental que hemos observado y encontrado cada vez que utilizamos la mecánica newtoniana? ¿O hay algo sutil en las propias leyes que subvenciones esta propiedad de replicación a mayores escalas.

PD: Les pido que eviten el uso de conceptos de mecánica cuántica o algo avanzado ya que no estoy en condiciones de entender todo eso ahora. Sólo estoy familiarizado con las leyes de Newton.

Le pido su ayuda en este sentido.

Answer 1

Es una consecuencia de la segunda y tercera ley de Newton y de la superposición de fuerzas. La segunda ley de Newton supone implícitamente la superposición de fuerzas. Por lo demás, la segunda de Newton no es más que una definición de fuerza neta. Que la fuerza neta que actúa sobre una partícula es la suma de las fuerzas individuales que actúan sobre esa partícula es un corolario en la ley de Newton Principia . Varios profesores de física la tratan explícitamente como una cuarta ley del movimiento; otros lo hacen implícitamente al enseñar sobre vectores antes de discutir las leyes del movimiento de Newton.

¿Y un sistema de partículas? El centro de masa $X$ de un sistema de partículas se define como $$M \boldsymbol X = \sum_i m_i \boldsymbol x_i$$ donde $M = \sum_i m_i$ , $m_i$ y $\boldsymbol x_i$ son la masa y la posición de la partícula $i$ y las sumas son sobre todas las partículas individuales que componen el sistema.

Asumir que el número de partículas y que la masa de cada partícula permanece constante en el tiempo permite diferenciar dos veces con respecto al tiempo: $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i m_i \ddot{\boldsymbol x}_i$$ La segunda ley de Newton permite reescribir el lado derecho como la fuerza neta que actúa sobre el $i^{th}$ de partículas: $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \ddot{\boldsymbol F}_{\text{net},i}$$ donde $F_{\text{net},i}$ es la fuerza neta que actúa sobre el $i^{th}$ partícula. La superposición de fuerzas significa que esta fuerza individual neta puede resolverse como una suma de fuerzas externas e internas: $$F_{\text{net},i} = F_{\text{ext},i} + \sum_{j\ne i} F_{j,i}$$ donde $F_{\text{ext},i}$ es la suma de las fuerzas externas que actúan sobre la partícula $i$ (fuerzas atribuibles al entorno externo en contraposición a las interacciones entre las partículas que componen el sistema). Esas interacciones entre partículas son captadas por el $F_{j,i}$ fuerzas internas. Así, $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} + \sum_i \sum_{j\ne i} \boldsymbol F_{j,i}$$ Aquí es donde entra en juego la tercera ley de Newton, que dice que $\boldsymbol F_{i,j} = -\boldsymbol F_{j,i}$ . Esto significa que la segunda suma de la derecha ( $\sum_i \sum_{j\ne i} F_{j,i}$ ) es idéntico a cero, por lo que sólo queda $$M \ddot{\boldsymbol X} = \sum_i \boldsymbol F_{\text{ext},i} \equiv \boldsymbol F_\text{ext,tot}$$

Answer 2

Para analizar más el ejemplo de la pelota de béisbol, lo que interesa durante un partido es el movimiento medio de todas las partículas que lo componen. Cada partícula individual puede estar moviéndose aleatoriamente dentro de la pelota a velocidades muy altas, pero no puedes verlas directamente ni es relevante para el movimiento global de la pelota a escala humana.

Supongamos ahora que cada partícula individual que compone la pelota de béisbol obedece a la ley de Newton. El teorema afirma entonces que, al considerar la pelota entera, el centro de masa también obedece la ley de Newton, con una masa que es la masa de toda la pelota, y una fuerza que es la fuerza total que actúa sobre la pelota, es decir, la suma de todas las fuerzas que actúan sobre cada partícula.

Este es el punto crucial. Desde la distancia no podrás resolver la bola y todo lo que ves es una esfera en movimiento. Como razonablemente todas las partículas permanecerán en esta esfera de manera uniforme, su punto central será también el centro de masa geométricamente. Pero el centro de masa se moverá según la ley de Newton y, si la esfera no se deforma ni se rompe, también lo hará su punto central, ¡ya que coinciden! Así que la pelota de béisbol en su conjunto, por su rigidez, se moverá según la ley de Newton .

El teorema es, por supuesto, siempre verdadero, pero no siempre es interesante o perspicaz. Por ejemplo, tomemos dos pelotas en reposo que no interactúan y demos una patada a una de ellas para que empiece a moverse. El movimiento del centro de masa es predecible, pero en realidad no describe nada del "sistema" en su conjunto y, sobre todo, no es directamente observable. Es sólo una propiedad de las dos bolas combinadas.

Como ejemplo menos mundano, lo que puedes deducir es que, suponiendo que todo lo que compone la Tierra obedece a la segunda ley, la propia Tierra es un cuerpo rígido que obedece a la segunda ley. Y si cada trocito de materia del sistema solar obedece esta ley, se puede estudiar y predecir el movimiento de los planetas si se conoce la fuerza que cada uno ejerce sobre los demás.

Lo que no se puede deducir es que, como toda la materia ordinaria parece obedecer la ley de Newton, entonces también los átomos o partículas subatómicas obedecen la misma ley. El teorema es válido en una sola dirección.

Answer 3

No sé lo que Faynman tenía en su pensamiento, pero definitivamente la relación entre las partes del sistema y el centro de la masa es causada por:

1. Aditividad de las fuerzas.
2. Relación lineal entre fuerza, masa y aceleración.

Linealidad significa que la masa y la fuerza dependen linealmente la una de la otra. Por lo tanto, la suma de las masas da la masa total, y la suma de las fuerzas da la fuerza total, y siguen siendo proporcionales (cuando el cuerpo es rígido).