Soy estudiante de física y necesito estudiar geometría diferencial lo antes posible para complementar mis estudios sobre solitones e instantones. ¿Cuánto necesito saber de topología? Conozco algunos conceptos básicos leyendo de internet sobre espacios topológicos, conectividad, compacidad, métrica y espacios hausdorff cotizados. ¿Necesito profundizar más? Además, ¿podría sugerirme algunos capítulos de libros de texto de topología para repasar estos conocimientos? ¿Podría también sugerirme un buen libro de geometría diferencial que cubra los temas de geometría diferencial que se necesitan en física con suficiente detalle (sin demasiado énfasis en el rigor matemático)? He oído hablar de los siguientes autores de libros de texto: Nakhara, Fecko, Spivak. ¿Recomendarías estos?
Respuesta
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No debería necesitar mucho. Casi todo lo que necesitas saber sobre topología (especialmente de la variedad de conjuntos de puntos) debería haber sido cubierto en un curso de cálculo avanzado. Es decir, realmente necesitas saber sobre "cosas" en $\mathbb{R}^n$ . (La única excepción principal es cuando se estudian los instantones y algunos resultados de existencia son de naturaleza topológica; para ello será necesario conocer un poco los grupos fundamentales y la homotopía). La razón es que topología diferencial y geometría diferencial objetos de estudio que localmente parecen espacios euclidianos. Esto descarta de forma drástica muchos de los ejemplos más esotéricos que los topólogos de conjuntos de puntos y los analistas funcionales desean considerar. Así que la mayoría de los libros de introducción a la geometría diferencial esbozan rápidamente algunos de los hechos topológicos básicos que se necesitan para empezar.
En cuanto a la topología necesaria para la geometría diferencial, uno de los textos que más recomiendo sería
- J.M. Lee's Introducción a los colectores suaves
Es bastante matemático y bastante avanzado, y cubre grandes trozos de lo que se llamará también geometría diferencial. Se puede complementar con su Múltiples riemannianos para conseguir también algo de geometría riemanniana.
Pero ya que estás preguntando desde el punto de vista de un estudiante de Física, quizás lo mejor para ti sería empezar con cualquiera de los dos (o ambos)
- Nakahara's Geometría, Topología y Física
- Choquet-Bruhat's Análisis, Múltiples y Física : Vol. 1 y Vol. 2
y el seguimiento con
- Greg Naber de la serie de dos libros: Topología, Geometría y Campos Gauge: Fundamentos y Topología, Geometría y Campos Gauge: Interacciones
