Círculos excéntricos - determinar el espacio entre el círculo en un lugar determinado

Question

Necesito encontrar una manera de calcular las dimensiones x e y como se muestra en la imagen adjunta. Conozco los ángulos (en el ejemplo el círculo interior se divide en 6 ángulos de 60 grados). También conozco los diámetros de ambos círculos.

He probado un montón de enfoques pero creo que me falta algún punto sencillo que no me deja ver la solución.

David

Answer 1

Dejemos que $O_1$ y $O_2$ sean los centros de los círculos pequeño y grande, y que $r_1$ y $r_2$ sean sus radios. Sea $P$ sea el punto del círculo grande en la parte superior derecha (así $x$ mide la distancia del círculo pequeño a $P$ ).

Consideremos ahora el triángulo $PO_1O_2$ . Las longitudes de sus lados son $r_2-r_1$ , $r_2$ y $r_1+x$ . El ángulo $\angle PO_1O_2$ es conocido (en este caso, $60^\circ$ ). Ahora utiliza la Ley del Coseno para encontrar $x$ .

Answer 2

Elegir las unidades para que el círculo más pequeño tenga radio $1$ y el más grande tiene radio $R.$ que el centro del círculo más pequeño sea $O,$ el punto de contacto común sea $A,$ y el punto $C$ tal que $AC$ es el diámetro del círculo mayor. los puntos $B, D$ están en el círculo mayor y $BOD$ es una línea.

aplicando la regla del coseno al triángulo $AOB$ da $$AB^2 = 1 + (1+x)^2 + (1+x)$$

aplicando la regla del coseno al triángulo $COD$ da $$CD^2 = (2R-1)^2 + (1+y)^2 -(2R-1)(y+1)$$

los dos triángulos $AOB, DOC$ son similares para que $$\dfrac{1}{1+y} =\dfrac{1+x}{2R-1} = \dfrac{BA}{CD} \tag 1$$

podemos resolver $(1)$ para $x$ y $y.$