Identidad vectorial utilizada en el electromagnetismo

Question

¿Existe una prueba sencilla de esta identidad o una referencia a algún libro de texto donde pueda encontrar una prueba sencilla de la $(1)$ ?

$$\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B})\tag{1}$$ donde la versión de Maxwell de la ley de inducción de Faraday es

$$\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$$

Answer 1

Derivación de la ecuación

$\boldsymbol{\nabla}\times (\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{E})=-\dfrac{\partial }{\partial t}(\boldsymbol{\nabla}\times \mathbf{B})\tag{1}$

de

$\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf E = -\dfrac{\partial{\mathbf B}}{\partial t} \tag 2$

es más una cuestión de cálculo de múltiples variables que de electromagnetismo. Nos limitamos a utilizar el hecho de que, para una variable suficientemente diferenciada $\mathbf B$ (Estoy bastante seguro de que $C^2$ ), el orden en que tomemos las derivadas parciales es irrelevante para el resultado. Por lo tanto, tomando $\boldsymbol{\nabla} \times$ de cada lado de (2) para obtener

$\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf E) = -\boldsymbol{\nabla} \times \dfrac{\partial{\boldsymbol B}}{\partial t}, \tag 3$

basta con intercambiar el orden de las derivadas que aparecen en el lado derecho (es decir, de $\partial / \partial t$ y $\boldsymbol{\nabla} \times$ ) y ¡voilá! (1) se obtiene.