¿Cómo derivar la expectativa de la distribución de Gompertz?

Question

Se nos da $$h(t)=\lambda exp(\theta t)$$ h(t) es la función harzard definida en los campos de la bioestadística. Tiene relación con f(t) de la siguiente manera:

$$h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$$

He llegado al paso de encontrar $$f(t)=\lambda \exp(t/2-2\lambda \exp(t/2)+2\lambda)$$

Pero no puedo derivar la expectativa utilizando $$E(x)=\int tf(t)dt$$

¿Podría alguien mostrarme cómo encontrar la expectativa de la distribución Gompertz?

Answer 1

Sustituyendo $t = \ln u$ y luego integrando por partes, $$\int_0^\infty \lambda t \exp(t - \lambda e^t) \,dt = -\int_1^\infty d(e^{-\lambda u}) \ln u = \int_1^\infty \frac {e^{-\lambda u}} u du = \Gamma(0, \lambda), \\ \int_0^\infty t f(t) dt = 2 e^{2 \lambda} \Gamma(0, 2 \lambda).$$