¿Un espacio con estrechez contable que no es un espacio de Fréchet?

Question

Necesito un espacio con estrechez contable que no sea un espacio de Fréchet. En este espacio, busco un punto con no barrio borrado que consiste enteramente en puntos P.

(Un punto P es un punto $x \in X$ tal que para cada $G_\delta$ set $O$ que contiene $x$ , $x \in \operatorname{int}(O)$ o de forma equivalente $M_x = O_x$ es decir, todo filtro z primo fijo que contenga $x$ es un ultrafiltro z).

Answer 1

En primer lugar, observe que en un espacio con estrechez contable: $P$ -punto $\Leftrightarrow$ débil $P$ -punto $\Leftrightarrow$ Punto aislado. Así que está buscando un punto para el que cada vecindad eliminada contenga un punto no aislado. Puedes hacerlo mucho mejor:

Dejemos que $X$ sea un contable espacio máximo (es decir, que la topología en $X$ es máxima entre las topologías que no tienen puntos aislados). Es una aplicación fácil del lema de Zorn, partiendo de cualquier espacio contable que no tenga puntos aislados. Entonces:

1) $X$ es contable (en particular, tiene estrechez contable),

2) No hay punto de $X$ es un punto límite de dos subconjuntos disjuntos de $X$ (en particular no tiene secuencias convergentes no triviales y por lo tanto no es Fréchet),

3) $X$ no tiene puntos aislados (por lo que cualquier tiene la propiedad que desea).

La propiedad 2 no es tan fácil de comprobar, pero puedes mirar "Aplicaciones de las topologías maximales" de E.K. van Douwen, donde demuestra (véase el teorema 2.2) que para abarrotado espacios (es decir, espacios sin puntos aislados) propiedad 2 (que él llama perfectamente desconectado ) es equivalente a ser un espacio maximalista. En el mismo artículo, van Douwen muestra cómo se puede construir un espacio de este tipo que también es regular (esto ya no es una simple aplicación del lema de Zorn).