Número de ideales de una norma determinada

Question

¿Existe alguna expresión analítica (las que implican exp, sin, cos, etc...) que dé el número de ideales de una norma dada?

por supuesto que estamos en un campo numérico algebraico.

Answer 1

No es así. Hay límites superiores en el número de ideales de una norma dada en una clase ideal dada, pero no creo que exista la expresión que buscas.

Si se toma un ideal $\mathfrak{p}\lhd\mathcal{O}_K$ de norma delimitada por $n$ y considerar su imagen en el grupo de clase $[\mathfrak{p}]$ , entonces podemos encontrar una inversa digamos $[\mathfrak{q}]$ en el grupo de clase, y por lo tanto $\mathfrak{p}\mathfrak{q}=(\alpha)$ es principal con $\alpha\in\mathfrak{q}$ y $|\operatorname{Nm}(\alpha)|\le n\operatorname{Nm}(\mathfrak{q})$ . Y si $\alpha\in\mathfrak{q}$ y $|\operatorname{Nm}(\alpha)|\le n\operatorname{Nm}(\mathfrak{q})$ entonces $\mathfrak{p}=(\alpha)\mathfrak{q}^{-1}$ es un ideal de norma acotado por $n$ .

Por lo tanto, el número de ideales de norma limitada por $n$ en una clase determinada, digamos $X$ es igual al número de principal ideales $(\alpha)$ , donde $\alpha\in\mathfrak{q}$ (y $[\mathfrak{q}]=X^{-1}$ en el grupo de clase), y $|\operatorname{Nm}(\alpha)|\le n\operatorname{Nm}(\mathfrak{q})$ .

Dejemos que $x_1,\dots,x_d$ sea una base integral para $\mathcal{O}_K$ y que $\alpha=r_1x_1+\cdots+r_dx_d$ . Entonces podemos intentar convertir el problema de encontrar ideales principales $(\alpha)$ en uno de contar los puntos de la red $(r_1,\dots,r_d)\in\mathbb{Z}^d$ . Esto se explica con bastante más detalle aquí .