Las teorías axiomáticas de conjuntos clásicas (por ejemplo, ZFC, NGB) se formulan en lógica de primer orden con igualdad, por lo que cualquier las cosas sobre las que se puede cuantificar (es decir, de las que se puede hablar como objetos reales del lenguaje), se puede hablar de la igualdad de, como un dato básico del lenguaje.
En particular, tanto en ZFC como en NGB, se puede hablar ciertamente de igualdad de espacios vectoriales. En ZFC, no se puede hablar de bestias como objetos cuantificables (ya que sólo se pueden representar como clases propias, no como conjuntos); en NGB, sí se puede, y así se consigue la igualdad de los mismos.
La cardinalidad es un poco más resbaladiza: en general se considera una noción definida más que básica, y las definiciones exactas que se utilizan varían de forma sensible a su pregunta. La mayoría de las veces, un objeto llamado "cardinalidad" sólo se define específicamente para los conjuntos [1] para las clases, " C y D tienen la misma cardinalidad" se considera azúcar sintáctico para "hay una biyección de clase entre C y D ". Así que no está muy claro qué significa preguntar si una clase "tiene cardinalidad", pero sea lo que sea depende en gran medida de tener una relación de igualdad sobre ella, para poder hablar de biyecciones hacia/desde ella.
Por otro lado, hay algunas teorías de conjuntos/tipos más recientes en las que la igualdad no se da, o es una noción más flexible.
En algunas versiones del Cálculo de Construcciones, si no recuerdo mal, hay un universo de conjuntos pequeños (posiblemente múltiples universos), y un producto arbitrario de conjuntos es de nuevo un conjunto, posiblemente en algún universo superior (hay que formularlo con cuidado para evitar incoherencias); y cada conjunto tiene igualdad en él, pero no hay igualdad en el/los universo/s. Así que allí, los espacios vectoriales no formarían un conjunto, y no tendrían una relación de igualdad; pero las bestias formarían un conjunto (un cierto producto de hom-sets) por lo que tendrían una relación de igualdad. (La C de C's está un poco fuera de lo que conozco, así que esto puede necesitar ser corregido por alguien más entendido).
Del mismo modo, existen versiones de la teoría de tipos de Martin-Löf con tipos de identidad que abordan esta cuestión; a grandes rasgos, los tipos de identidad pueden representar algo así como una relación de igualdad ordinaria, pero de forma más general también pueden parecerse a los conjuntos/categorías de ismorfismos (débiles) en una categoría (superior). Así que se puede definir un objeto para ser 0-categórico [1] si todos sus tipos de identidad son sólo valores de verdad; entonces un producto arbitrario de tipos 0-categóricos es de nuevo 0-categórico.
En esta configuración, el tipo de todos los espacios vectoriales dentro de algún universo tendrá tipos de identidad, por lo que la igualdad de un tipo, pero no del tipo objetable - la "igualdad" de los espacios vectoriales será exactamente isomorfismo entre ellos. El tipo de bestias sobre este universo será ahora 0-categórico: tendremos igualdad de bestias en el sentido más simple. (Además, en este fundamento, todas las bestias respetarán automáticamente el isomorfismo).
[1]: Las dos principales definiciones de $\|X\|$ Sé que son "los menos ordinales biyectivos a $X$ " (elegante, pero requiere que la elección se defina para todos los $X$ ), o " $\{ Y \in V_\alpha\ |\ Y \cong X \}$ , donde $\alpha$ es mínimo tal que éste no es vacío" (menos transparente pero más robusto).
[2]: La primera vez que oí esta definición fue en boca de Voevodsky, aunque estoy bastante seguro de que también la habían considerado otros antes. Él llama a esta propiedad ser un set pero quiero dejar claro que es una restricción de dimensión categórica no de tamaño .
