Problema de teoría de números modular

Question

Dejemos que $k\in\mathbb{N}, 2<p\in\mathbb{P}, p^{\alpha}\mid\mid n,\alpha\ge1$ . Entonces demuestre que $$1^k+2^k+\ldots+n^k\equiv\begin{cases}\hfill 0\pmod{p^{\alpha}},& p-1\nmid k\\-\frac{n}{p}\pmod{p^{\alpha}},& p-1\mid k\end{cases}$$

En primer lugar, he demostrado para $n=p$ . Si $p-1\mid k$ entonces se puede demostrar fácilmente por el pequeño teorema de Fermat. Sea $p-1\nmid k$ . Desde $p$ es un primo, tiene una raíz primitiva $g$ y satisface $\{1,g,g^2,\ldots,g^{p-2}\}=\{1,2,3,\ldots,p-1\}$ . Así que es suficiente para demostrar que $1+g^k+g^{2k}+\ldots+g^{(p-2)k}\equiv 0\pmod p\iff p\mid\frac{g^{(p-1)k}-1}{g^k-1}\iff p\cdot (g^k-1)\mid g^{(p-1)k}-1$ . Desde $(p, g^k-1)\neq1\iff p-1\nmid k$ y $p\mid g^{(p-1)k}-1,g^k-1\mid g^{(p-1)k}-1$ Es cierto.

Y no puedo seguir así por $n=p^{\alpha}$ (para $p-1\nmid k$ es similar a $n=p$ . Pero no puedo probar por $p-1\mid k$ ), $n=p^{\alpha}\cdot n_1$ , donde $n_1>1, (n_1,p)=1$ y así sucesivamente. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

No es difícil comprobar que es suficiente con mostrarlo para $n=p^{\alpha}$ .

Lo mostraremos por inducción sobre $\alpha$ .

Si $\alpha=1$ entonces funciona. Supongamos que el resultado es válido para $\alpha-1$ .

Entonces, mod $p^{\alpha}$ , $\sum_{m=0}^{p^{\alpha}-1}{m^k} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{(m+p^{\alpha-1}l)^k}} = \sum_{m=0}^{p^{\alpha-1}-1}{\sum_{l=0}^{p-1}{m^k+kp^{\alpha-1}l}}=p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k}+kp^{\alpha-1}\sum_{l=0}^{p-1}{l} = p\sum_{k=0}^{p^{\alpha-1}-1}{m^k} = -p \cdot p^{\alpha-1}/p = -p^{\alpha}/p$ .

Answer 2

Ver todo como elementos de $\Bbb{Z}/p^a\Bbb{Z}$ ,

• Si $p-1\nmid k$ entonces toma $p\nmid s, s^k \ne 1\bmod p$ $$\sum_{m\bmod p^a} m^k =\sum_{m\bmod p^a} (sm)^k=s^k\sum_{m\bmod p^a} m^k$$ lo que significa que $\sum_{m\bmod p^a} m^k=0$ .

• Si $p-1|k$ entonces toma el mayor $b$ tal que $(p-1)p^b | k$ ya que $m\to m^k$ restringido a las unidades, es suryente al subgrupo de elementos de la forma $1+p^{b+1}l$ conseguimos que $$\sum_{m\bmod p^a} m^k=\sum_{m\bmod p^a,p\ \nmid\ m} m^k+\sum_{m\bmod p^{a-1}} (pm)^k\\=(p-1)\sum_{l\bmod p^{a-1}} (1+p^{b+1} l)+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}+p^k \sum_{m\bmod p^{a-1}} m^k$$ $$ = -p^{a-1}-p^k p^{a-2}-p^{2k} p^{a-3}-\ldots- p^{(a-1)k} p^{a-a}$$ $$ = -p^{a-1}$$