Grado de trascendencia de una extensión de campo

Question

Así que quiero probar que si tengo $L/K/F$ entonces dado que los grados de trascendencia son finitos, entonces $$tr_F(L)=tr_K(L)+tr_F(K)$$

$\bf{Definition:}$ Decimos que un conjunto $X=\{x_i\}_{i\in I}$ es algebraicamente independiente sobre $F$ si $f\in F[\{t_i\}_{i\in I}]$ tal que $f((x_i)_{i\in I})=0$ implica que $f=0$ .

Ahora básicamente empecé así: Dejemos que $B_1=\{x_1,...,x_m\}$ ser una base de trascendencia para $L$ en $K$ y $B_2=\{y_1,...,y_n\}$ una base de trascendencia para $K$ en $F$ . Dejemos que $B_3=\{x_1,...,y_n\}$ .

Demostraremos que $B_3$ es una base trascendental para $L$ en $F$ . Diga $f(t_1,...,t_{m+n})$ es un polinomio con coeficientes en $F$ , de tal manera que $f(x_1,...,y_n)=0$ . Entonces define: $$h(t_1,...,t_m)=f(t_1,...,t_m,y_1,...,y_n)$$ Entonces $h$ es un polinomio con coeficientes en $K$ desde $B_2\subset K$ y $h(x_1,...,x_m)=0$ . Esto significa que $h=0$ por la independencia algebraica de $B_1$ . Entonces, podemos dejar que $$g(t_{m+1},...,t_{m+n})=f(x_1,....,x_m,t_{m+1},...,t_{m+n})$$ Sin embargo, no puedo utilizar el hecho de que $g$ será cero porque $g$ puede tener coeficientes en $F$ . ¿Alguna pista?

Gracias

Answer 1

El truco habitual es el siguiente: Se escribe, con cierto abuso de la notación, $ f(s_1,\ldots,s_m,t_1,\ldots,t_n) = \sum_{i \in \mathbb{N_0}^m } f_i(t_1,\ldots,t_n) s^i \in F[t_1,\ldots,t_n][s_1,\ldots,s_m]$ .

Al igual que su argumento sobre $h$ se puede concluir que $f_i(y_1,\ldots,y_n) = 0$ para todos $i \in \mathbb{N_0}^m$ . Pero el $f_i$ son polinomios con coeficientes en $F$ .