Ayuda para entender la definición de teoría de números

Question

En mi clase de teoría elemental de los números, tenemos la siguiente definición que me cuesta entender qué significa:

Definición: A sistema completo de residuos módulo m es un conjunto de enteros tal que cada entero es congruente módulo m a exactamente un número entero en el conjunto.

El ejemplo que tienen a continuación es confuso. No puedo imaginarme cómo es esto y por qué es importante que un entero del conjunto sea congruente exactamente con otro entero del conjunto. ¿Puede alguien ayudarme a entenderlo, quizás con un ejemplo sencillo?

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El ejemplo dado es {0,1,2, ... , m-1} es un sistema completo de residuos módulo m.

¿Cómo se demuestra que, por ejemplo, 1 es congruente exactamente con uno de los enteros del conjunto?

Answer 1

Ejemplo. Dejemos que $$ S=\{27,32,37,42\} $$ y nota que \begin{align*} 27\equiv 3\pmod4 && 32\equiv 0\pmod4 && 37\equiv1\pmod4 && 42\equiv2\pmod4 \end{align*} Dado que cada número entero $n$ equivale a $0$ , $1$ , $2$ o $3$ modulo $4$ Esto nos dice que $S$ es un sistema completo de residuos módulo $4$ .

No es un ejemplo. Dejemos que $$ T=\{17,101,122,132\} $$ y nota que \begin{align*} 17\equiv 1\pmod4 && 101\equiv 1\pmod4 && 122\equiv2\pmod4 && 132\equiv0\pmod4 \end{align*} Desde $11\equiv 3\pmod4$ Esto nos dice que $T$ es no un sistema completo de residuos modulo $4$ .

Ejercicio. Determine si $$ U=\{28,65,189,243,1001\} $$ es un sistema completo de residuos módulo $5$ . Si publicas tu solución en los comentarios, ¡puedo criticarla!

Answer 2

Dejemos que $m \geq 1$ .

Un conjunto, cuyos elementos son $m$ enteros consecutivos, es un sistema completo de residuos $\mod m$ .

En realidad, los números $a,a+1, \dots , a+(m-1)$ no son equivalentes $\mod m$ .

Porque, dos de estos números difieren en un número $k$ con $0<k<m$ y así, la diferencia $k$ no se divide por $m$ .