Tres semicírculos en el plano pueden no encontrarse bien

Question

Dejemos que $H$ denotan la unión del hemisferio norte del círculo unitario $S^{1}$ con el intervalo $[-1,1]$ en el $x$ -eje. Es decir, $H=\{(x,\sqrt{1-x^{2}}):-1\le x\le 1\}\cup\{(x,0):-1\le x\le 1\}$

Digamos que dos copias de $H$ reunirse bien si se cruzan exactamente en 6 puntos, por ejemplo, como muestran las dos imágenes de abajo:

o

Observa que la imagen de la derecha muestra dos semicírculos que se encuentran bien, pero cuyos centros no se encuentran dentro del semidisco de su pareja.

Ahora, si tenemos tres copias de $H$ Puede parecer que no es posible organizarlos de manera que reunirse bien es decir, que se cumplen las dos condiciones siguientes 1. Dos cualesquiera se encuentran bien, y 2 La intersección de las tres es vacía.

¿Es esto cierto? O, si estoy equivocado, agradecería que alguien me mostrara, o describiera, la disposición deseada.

EDIT: Estoy considerando SIEMPRE semicírculos, es decir, copias de $H$ . No es necesario dar respuestas relacionadas con los medios discos.

EDIT: Es posible organizar tres copias de $H$ para que tanto 1. como 2. se mantengan (véase la respuesta seleccionada más abajo).

Answer 1

1. Esta es la respuesta bajo el supuesto de que la condición 2. significa exactamente lo que dice.

Consideremos un triángulo regular de lado $2+\varepsilon$ y tres diámetros en la mitad de sus lados. Si se construyen los semicírculos hacia el triángulo en estos diámetros, se obtiene el ejemplo deseado.

Ahora sobre las cuatro copias.

Lema. Supongamos que las dos copias de $H$ se encuentran bien. Consideremos sus semiplanos de apoyo determinados por los diámetros. Entonces su intersección es un ángulo agudo, y los centros pertenecen a sus lados. (Posiblemente este ángulo sea degenerado; en este caso, debería ser 0 pero no $\pi$ , lo que significa que la intersección debe ser una franja pero no un semiplano).

Prueba. Si los dos diámetros no se cruzan, entonces cada uno de los tres pares de la forma (diámetro, semicírculo) y (semicírculo,semicírculo) se encuentran en dos puntos. Consideremos ahora un punto $A$ de intersección de las líneas que soportan los diámetros. Al menos un diámetro (digamos, $d_1$ ) no contiene $A$ . Por lo tanto, si el ángulo en el enunciado del lema no es agudo, entonces el semicírculo en $d_1$ no puede cruzarse con $d_2$ . A continuación, el centro $C_1$ se encuentra claramente en el lado de este ángulo. Por último, la proyección de $O_2$ en $d_1$ debe estar en el segmento $d_1$ Por lo tanto $O_2$ también está en el lado del ángulo (pero no en su prolongación).

Por último, supongamos que los diámetros se intersecan, entonces cada semicírculo puede intersecar al otro diámetro como máximo en un punto más, y el número total de puntos de intersección es inferior a 6. El lema queda demostrado.

Ahora podemos demostrar que las cuatro copias de $H$ no pueden coincidir de forma agradable. Sea $c_{ij}$ sea el ángulo del lema para $H_i$ y $H_j$ . Es fácil ver que $c_{12}$ , $c_{13}$ , $c_{23}$ deben formar un triángulo agudo con los centros $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ en sus lados (sólo trata de añadir el tercer diámetro a $c_{12}$ !). Pero entonces es imposible añadir el cuarto semiplano --- ¡estos cuatro semiplanos deberían formar ahora un cuadrilátero con cuatro ángulos agudos!

2. Supongamos ahora que se habla de los medios discos. Entonces la respuesta es positiva. Del párrafo anterior, vemos que los tres diámetros se encuentran dentro de los tres lados de algún triángulo agudo $XYZ$ respectivamente.

Ahora considera las tres distancias entre los centros. Si las tres son menores que $\sqrt3$ entonces, por el teorema de Jung, pueden estar cubiertos por el disco unitario, y el centro de este disco pertenece a los tres semidiscos.

En caso contrario, suponga que $C_1C_2\geq \sqrt3$ , donde $C_1$ y $C_2$ sean los centros de los lados $XY$ y $XZ$ respectivamente. Tenemos $d(C_1,XZ)\leq 1$ Si no es así, el semicírculo y el segmento respectivos no se cruzan. Pero entonces la proyección de $C_1$ en $XZ$ es al menos $\sqrt2$ lejos de $C_2$ por lo que el primer semicírculo no puede intersecar dos veces al segundo diámetro. Así que en este caso también obtenemos una contradicción.

Puedo ampliar cualquier parte del boceto anterior.

Answer 2

Esto es lo primero que se me ocurre; por favor, tómelo con escepticismo y compruebe todas las suposiciones, visibles y ocultas.

Centrémonos en el segmento de línea y en sus puntos extremos, que llamaré p y q para una muestra H. Me he convencido de que de que si p y q están en lados opuestos de otro segmento de línea para una semicircunferencia diferente H', entonces hay como máximo 4 puntos de intersección, por lo que H y H' no se encuentran bien.

Ahora considera segmentos de dos de los semicírculos que se encuentran bien. Cada uno de ellos se encuentra completamente en un semiplano definido por el otro segmento. El tercer segmento, cuando se coloca, se encuentra en alguna intersección de dos de los semiplanos. Pero para que se encuentre bien con los otros dos semicírculos, tienes que colocar el arco circular de forma que intersecte ambos segmentos de línea. Si se encuentra en el centro, esto no se puede hacer.

Me doy cuenta de que esto dista mucho de ser riguroso, pero puede ser que lo firmes y lo uses.

Gerhard "Necesita beber más café" Paseman, 2012.09.26