Dejemos que $a, b, c, d \in \mathbb R$ . Dado que $a^2 + c^2 = 1$ , $b^2 + d^2 = 1$ y $ab + cd = 0$ , demuestran que $|ad - bc| = 1$ .

Question

Como parte de una prueba de que todas las matrices ortogonales de 2x2 representan rotaciones o reflexiones ( Introducción al álgebra lineal aplicada (ejercicio 10.37), me encontré con lo siguiente.

Dejemos que $a, b, c, d \in \mathbb R$ . Dado que $a^2 + c^2 = 1$ , $b^2 + d^2 = 1$ y $ab + cd = 0$ Necesito demostrar que $|ad - bc| = 1$ .

He probado muchos enfoques diferentes aquí, pero no puedo averiguar cuál es el truco. Cualquier pista sería muy apreciada.

Además, ¿existe un enfoque estándar para resolver problemas de este tipo? Si es así, ¿cuál es?

Answer 1

Sugerencia: Utilice la fórmula $$(a^2+c^2)(b^2+d^2)=(ad-bc)^2+(ab+cd)^2$$

Answer 2

$$a^2+c^2=1\implies $$ $$a=\cos(u) , c=\sin(u)$$

$$b^2+d^2=1\implies $$ $$b=\cos(v) , d=\sin(v)$$

$$ab+cd=0\implies cos(u-v)=0$$

$$\implies |\sin(u-v)|=1$$

$$\implies|\sin(u)\cos(v)-\cos(u)\sin(v)|=1$$

$$\implies |ad-bc|=1$$