Prueba $\sum_{n=1}^{\infty} \arctan\left(\frac{1}{F_n}\right) \arctan\left(\frac{1}{F_{n+1}}\right)=\frac{\pi^2}{8}$

Question

Como dice el título, no estoy seguro de cómo probar $$\sum_{n=1}^{\infty} \arctan\left(\frac{1}{F_n}\right) \arctan\left(\frac{1}{F_{n+1}}\right)=\frac{\pi^2}{8}$$ donde $F_n$ representa el $n$ -ésimo número de fibonacci ( $F_1=1, F_2=1, F_3=2$ etc.).

Esta pregunta proviene de un post de Instagram y WolframAlpha verifica numéricamente que la serie converge a $\frac{\pi^2}{8}$ durante al menos $60$ decimales. He visto varias series infinitas que involucran números arctangentes y de Fibonacci que terminan en una suma telescópica a través de identidades de adición/resta de ángulos arctangentes, pero no estoy seguro de cómo abordar esta serie con el producto de dos funciones arctangentes. Estoy buscando una solución que no dependa de saber que la serie converge a $\frac{\pi^2}{8}$ .

Answer 1

Dejemos que $a_n=\arctan(1/F_n)$ , $b_n=a_n^2$ para incluso $n$ y $b_n=a_{n-1}a_{n+1}$ para impar $n$ (aquí asumimos $a_0=\pi/2$ para que $b_1=\pi^2/8$ ). Ahora afirmo que $\color{blue}{a_n a_{n+1}=b_n-b_{n+1}}$ . Tenemos $$a_{n-1}-a_{n+1}=\arctan\frac{F_{n+1}-F_{n-1}}{F_{n-1}F_{n+1}+1}=\arctan\frac{F_n}{F_n^2+1+(-1)^n}$$ (con $n=1$ comprobado por separado), por lo que $a_{n-1}-a_{n+1}=a_n$ para impar $n$ y \begin{align*} n\text{ is odd }&\implies b_n-b_{n+1}=a_{n-1}a_{n+1}-a_{n+1}^2=(a_{n-1}-a_{n+1})a_{n+1},\\n\text{ is even }&\implies b_n-b_{n+1}=a_n^2-a_n a_{n+2}=a_n(a_n-a_{n+2}), \end{align*} dando $a_n a_{n+1}$ en ambos casos. Así, $\sum_{n=1}^\infty a_n a_{n+1}=\sum_{n=1}^\infty(b_n-b_{n+1})=b_1$ .

Answer 2

COMENTARIO: Puede que esto ayude:

$\tan^{-1}x+\tan^{-1}y=\tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}$

$\tan^{-1}x-\tan^{-1}y=\tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}$

Elevando al cuadrado ambos lados de las relaciones y restando obtenemos:

$$4\tan^{-1}x \tan^{-1}y=\left(\tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy}\right)^2-\left(\tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy}\right)^2$$

$x=\frac 1{F_n}$ y.., $y=\frac 1{F_{n+1}}$

Ahora utilizamos algunas relaciones entre los números de Fibonacci, la proporción áurea $c_n$ es:

$c_n=\frac {F_{n+1}}{F_n}=\frac {F_nF_{n+1}}{F_n^2}\rightarrow F_nF_{n+1}=c_nF_n^2$

$$x+y=\frac1{F_n}+\frac1{F_{n+1}}=\frac{F_{n+2}}{c_n F_n^2}\rightarrow \frac{x+y}{1-xy}=\frac{F_nF_{n+1}F_{n+2}}{c_nF_n^2(F_nF_{n+1}-1)}$$

De la misma manera:

$$x-y=\frac1{F_n}-\frac1{F_{n+1}}=\frac{F_{n-1}}{c_n F_n^2}\rightarrow \frac{x-y}{1+xy}=\frac{F_{n-1}F_nF_{n+1}}{c_nF_n^2(F_nF_{n+1}+1)}$$

Ahora, poniendo $F_1, F_2, F_3 \cdots$ nos da una suma numérica que debe dar como resultado $\frac{\pi^2}8$ .