teorema de sylow para grupos abelianos - duda en la demostración

Question

La segunda edición de Herstein's Topics in Algebra (pg 62) tiene una demostración del teorema de Sylow para grupos abelianos.

En ella menciona que desde $p| O(G/S) $ para algún subgrupo $S$ del grupo abeliano $G$ hay un elemento $Sx$ en $G/S$ Satisfaciendo a $Sx \neq S $ y $(Sx)^{p^ {n}} = S$ para algún número entero $n>0$ .

No entiendo por qué $(Sx)^{p^ {n}} = S$ .

Justo antes de este teorema demostró el teorema de Cauchy para grupos abelianos. Por lo tanto, obtengo que $(Sx)^{p} = S$ es verdadera para algún elemento $Sx$ . Pero, ¿por qué es necesario generalizar para $p^n$ para $n>0$ .

Nota: En esta prueba $S = \{ x \in G \ | x^{p^{n}} = e\ for \ some\ integer\ n\}$

aquí es la prueba completa (pg 62).

Answer 1

El cociente $G/S$ es un grupo abeliano cuyo orden es divisible por $p$ . Aplique el teorema de Cauchy.

Existe un elemento $Sx \in G/S$ cuyo orden es $p$ Es decir, $(Sx)^p = S$ . Está tomando $n$ para ser $1$ .

Estoy de acuerdo contigo y no veo honestamente por qué necesitarías algún otro $n > 1$ . La contradicción del siguiente párrafo funciona bien con $n = 1$ .

---

Nota al margen: Por inducción en $n$ es cierto que, si $(Sx)^p = S$ entonces $(Sx)^{p^n} = S$ para todos $n > 0$ .