Estimación del modelo AR(1) de raíz unitaria con OLS

Question

Dado un paseo aleatorio $x_t$ ,

$$x_t=x_{t-1}+\varepsilon_t,$$

considerar la estimación del coeficiente de la pendiente $\beta$ en

$$x_t=\beta x_{t-1}+\varepsilon_t$$

por OLS. Este pregunta y la siguiente respuesta señalaba que $\hat \beta^{OLS}$ tiene una distribución sesgada. Mi pregunta es,

¿Se viola alguno de los supuestos de OLS en el modelo? $x_t=\beta x_{t-1}+\varepsilon_t$ dado que $x_t$ ¿es un paseo aleatorio? Si es así, ¿cuáles son las violaciones?

Answer 1

En general, se supone que las variables explicativas tienen momentos finitos al menos hasta el segundo orden. En este caso, como la variable explicativa es un paseo aleatorio, su varianza no es finita. Esto hace que la matriz $Q=\hbox{plim } X′X/n$ no finito, con las consecuencias que se comentan a continuación.

La variable explicativa $x_{t-1}$ no es fijo (es estocástico ya que depende de $\epsilon$ ) y no es independiente del término de error $\epsilon_t$ . Esto hace que el método OLS en general esté sesgado y que la inferencia no sea válida en muestras pequeñas.

La variable explicativa y $\epsilon_t$ no son independientes entre sí, sino que están descorrelacionados de forma contemporánea, $E(x_t, u_t) = 0 \forall t$ . En el modelo de regresión clásico, esto abrirá la posibilidad de que el estimador OLS sea consistente en muestras grandes.

Si la matriz $Q = \hbox{plim } X′X/n$ fuera una matriz finita y definida positiva, entonces el estadístico de la prueba F seguirá asintóticamente la $\chi^2$ distribución. Como señaló @ChristophHanck esta matriz no es finita en este contexto. Por lo tanto, la Teorema de Mann y Wald no es aplicable y la inferencia basada en OLS no será fiable ni siquiera en muestras grandes.

Le puede interesar esta respuesta en el que se discuten cuestiones similares en el contexto de un proceso estacionario AR(q).

Answer 2

Uno de los supuestos clave que enumeraría entre los supuestos estándar de OLS es que no existe un LLN débil para la "media de los $X'X$ -matriz" $1/T\sum_tx_{t-1}^2$ . En cambio, tenemos una convergencia débil a un funcional del movimiento browniano siempre que escalemos por $T^2$ , a saber.

$$ T^{-2}\sum_{t=1}^Tx^2_{t-1}\Rightarrow\sigma^2\int_0^1W(r)^2d r $$

Por otra parte, no estoy del todo de acuerdo con la afirmación de @Alecos en el enlace que has puesto de que no hay solución analítica para la distribución del OLSE - conocemos la distribución asintótica del OLSE, cuando se escala con la tasa superconsistente adecuada $T$ , para ser

\begin{eqnarray*} T\left(\hat{\beta}^{OLS}-1\right)&=&T\frac{\sum_{t=1}^Tx_{t-1}\epsilon_{t}}{\sum_{t=1}^Tx_{t-1}^2}\\ &=&\frac{T^{-1}\sum_{t=1}^Tx_{t-1}\epsilon_{t}}{T^{-2}\sum_{t=1}^Tx_{t-1}^2}\\ &\Rightarrow&\frac{\sigma^2/2\{W(1)^2-1\}}{\sigma^2\int_0^1W(r)^2d r}\\ &=&\frac{W(1)^2-1}{2\int_0^1W(r)^2d r}, \end{eqnarray*} la "distribución de Dickey-Fuller" (JASA 1979).