$0\times n$ matrices

Question

Creo que es deseable tener esa $M_{m\times n}\left(\mathbb{K}\right)\not=M_{m'\times n'}\left(\mathbb{K}\right)$ si $m\not=m'$ o $n\not=n'$ . En otras palabras, el conjunto de todos los $m\times n$ matrices en $\mathbb{K}$ debe ser diferente del conjunto de todos los $m'\times n'$ matrices en el mismo campo cuando $m\not=m'$ o $n\not=n'$ . Pero si defino $M_{m\times n}\left(\mathbb{K}\right)$ como $\left(\mathbb{K}^n\right)^m$ entonces $M_{0\times n}\left(\mathbb{K}\right)=M_{0\times n'}\left(\mathbb{K}\right)$ por cada $n$ y $n'$ . Es decir, dos matrices con filas nulas son iguales, independientemente del número de columnas que tengan, porque $X^0$ es el conjunto que contiene la tupla vacía, para cada conjunto $X$ . Podría haber definido $M_{m\times n}\left(\mathbb{K}\right)$ como $\left(\mathbb{K}^m\right)^n$ en su lugar, pero entonces el problema es con $M_{m\times 0}\left(\mathbb{K}\right)$ y $M_{m'\times 0}\left(\mathbb{K}\right)$ .

Dos preguntas:

1. ¿Estoy definiendo correctamente las matrices?
2. Son $m\times 0$ o $0\times n$ matrices tan importantes?

Gracias.

Answer 1

Como señala Laurent S, la forma sensata de definir $\mathbb{K}^0$ es como el conjunto de un elemento (ya sea $\{0\}$ o $\{\emptyset\}$ ).

También se podría argumentar que como se quiere $M_{m\times n}(\mathbb{K})$ para corresponder a las transformaciones lineales de $\mathbb{K}^n$ a $\mathbb{K}^m$ y como $\mathbb{K}^0$ es un espacio vectorial perfecto, entonces debe definir las matrices $M_{0\times n}(\mathbb{K})$ y $M_{m\times 0}(\mathbb{K})$ . Entonces, ciertamente, estás obligado a definir ambos como el conjunto trivial, ya que sólo existe la transformación lineal trivial en cualquiera de los dos casos (el mapa cero para $m=0$ y la inclusión trivial para $n=0$ ). En ese sentido, encajarían con la teoría general y no requerirían excepciones al describir espacios vectoriales (donde habría que excluir explícitamente el espacio vectorial de dimensión cero, por ejemplo).

¿Por qué, entonces, son $M_{0\times n}(\mathbb{K})$ y $M_{0\times n'}(\mathbb{K})$ ambos iguales incluso cuando $n\neq n'$ si la primera "es" una transformación lineal de $\mathbb{K}^n$ a $\{0\}$ y la segunda "es" una transformación lineal de $\mathbb{K}^{n'}$ a $\{0\}$ ¿Y por lo tanto diferente? La clave es el " . Ambos son identificado con esos mapas, pero como espacio vectorial en sí mismo son de hecho isomorfos, así que no hay un horrible error que destruya el universo al hacer que los anillos "matriciales" sean iguales. Por supuesto, ahora su teorema de que $M_{m\times n}(\mathbb{K})$ está determinada de forma única (de alguna manera) por el par $(m,n)$ ya no es cierto: hay que decir que son iguales si y sólo si $(m,n)=(m',n')$ o $mn=m'n'=0$ .

Así es la vida: a menudo hay un caso especial que debe tratarse por separado, y tu elección es si lo excluyes por diseño o lo excluyes por mención. En este caso, hay que elegir entre especificar "no cero" en muchos teoremas sobre espacios vectoriales, o especificar "o $mn=m'n'=0$ " en el teorema sobre las matrices. Este último suele ser menos perturbador. (En la teoría de conjuntos, a menudo hay que tratar el conjunto vacío de manera especial; eso corresponde a $0$ aquí).

En cuanto a su interés: están muy poco estructurados, por lo que no suelen ser interesantes en sí mismos. Pueden aparecer como parte de un esquema general (como en el caso anterior, encajando en el papel de representar transformaciones lineales entre los espacios vectoriales estándar de dimensión finita) para que no haya que hacer excepciones, pero como tales juegan más el papel de "evitadores de excepciones" que de "interesantes en sí mismos".

Answer 2

1. No, supongo que la única forma sensata de definir $\mathbb{K}^0$ cuando $\mathbb{K}$ es un campo es por $\mathbb{K}^0=0$ ya que debería ser un espacio vectorial de 0 dimensiones.

2. No, nunca he visto $m\times 0$ -matrices usadas en cualquier lugar, que no sea aquí.